1. Démonstration

On considère cette fois le cas d’une variable aléatoire continue. Le résultat sera généralisé au cas discret sans difficulté. Nous supposerons que la variable est centrée, soit \(E(X)=0\). On désigne par \(f(x\)) la densité de probabilité de la variable aléatoire \(X\).

Partons de l’expression de la variance \(\sigma_x^2\) que nous noterons simplement \(\sigma^2\).

La variable étant centrée : \[\sigma^2=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)~dx=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2dF(x)\]

Introduisant un nombre \(a>0\), on peut écrire l’intégrale précédente sous forme d’une somme de trois intégrales : \[\sigma^2=\int_{-\infty}^{-a}x^2dF+\int_{-a}^{+a}x^2dF+\int_{+a}^{+\infty}x^2dF\]

Chacune des intégrales est positive.

Comme \(x^2>a^2\) dans la première et la troisième intégrale, on peut les majorer et écrire : \[\int_{-\infty}^{-a}a^2dF<\int_{-\infty}^{-a}x^2dF\] \[a^2\int_{+a}^{+\infty}dF<\int_{+a}^{+\infty}x^2dF\]

L’égalité définissant \(\sigma^2\) peut être transformée en inégalité en supprimant la deuxième intégrale (positive) : \[\sigma^2\geq a^2\left\{\int_{-\infty}^{-a}dF+\int_{+a}^{+\infty}dF\right\}\]

D’autre part :

\[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{-a}dF=Pr(X<a)\\ \int_{+a}^{+\infty}dF=Pr(X>a)\end{aligned}\]

Comme les deux intervalles (extrêmes) sont disjoints, on peut écrire, pour une variable centrée : \[Pr(|X|>a)~\leq~ \frac{\sigma^2}{a^2} \qquad (m_1=0)\]

Dans le cas général (variable centrée ou non), on écrira l’inégalité de Chebycheff : \[Pr(|X-m_1|>a)~\leq~ \frac{\sigma^2}{a^2}\]

Remarque

Pour l’intervalle complémentaire, l’inégalité est inversée et il faut prendre le complément à 1 comme valeur minorante : \[Pr(|X-m_1|\leq a) ~ > ~ 1-\frac{\sigma^2}{a^2}\]

2. Application

On s’intéresse au nombre aléatoire \(N\) d’avions qui arrivent dans un intervalle de temps de 20 minutes sur un aéroport pour y atterrir. On a observé que \(E(N)=50\) et \(\sigma_N^2=50\). On veut connaître, à l’aide de l’inégalité de Chebycheff, une valeur majorante de \(Pr(40<N<60)\).

Les valeurs extrêmes 40 et 60 se présentent dans un écart absolu de 10 par rapport à la moyenne. On l’exprimera par la relation : \[Pr(40<N<60)=Pr(|N-\overline{N}|<10)\]

La forme complémentaire de l’inégalité de Chebycheff donne : \[Pr(|N-\overline{N}|<10)\quad > \quad 1- \frac{\sigma^2}{10^2} = \frac{1}{2}\]