1. Expression de la force électrique

Expression de la force agissant sur une charge ponctuelle dans un champ électrique : \[\overrightarrow{F}=q~\overrightarrow{E}\qquad[1]\]

Pour une multitude de charges ponctuelles dans un volume élémentaire \(dv\), la distribution apparaît comme une répartition continue de densité volumique de charge électrique \(\rho\).

Charge élémentaire contenue dans ce petit volume : \[dq=\rho~dv\]

Force exercée par le champ sur cette charge : \[\overrightarrow{dF}=dq~\overrightarrow{E}=\rho~\overrightarrow{E}~dv\]

On peut définir une densité volumique de force : \[\overrightarrow{f}=\rho~\overrightarrow{E}\qquad[2]\]

Force s’exerçant sur un volume fini \(v\) : \[\overrightarrow{F}=\int_V\overrightarrow{f}~dv=\int_V\rho~\overrightarrow{E}~dv\]

Cette addition des forces n’a de signification physique que si les charges sont liées de manière fixe à un système rigide de sorte que la force sur chaque charge soit transmise au système (solide macroscopique ou molécule).

Pour des distributions superficielles ou linéaires, on aurait respectivement : \[\begin{aligned} &\overrightarrow{F}=\int_S\sigma~\overrightarrow{E}~ds\\ &\overrightarrow{F}=\int_S\lambda~\overrightarrow{E}~dl \end{aligned} \qquad[3]\]

Soit respectivement à \(\sigma~\overrightarrow{E}\) et \(\lambda~\overrightarrow{E}\) pour les densités superficielle et linéaire de force.

Noter que si une certaine distribution de charges est plongée dans un champ, ce dernier peut modifier la distribution initiale.

Les formules données ici concernent évidemment la distribution d’équilibre dans le champ.

2. Travail des forces électriques

Considérons un déplacement élémentaire \(\overrightarrow{\delta\lambda}(\delta x,~\delta y,~\delta z)\).

Le travail est donné par l’intégrale : \[d\Theta=\int_v\rho~\overrightarrow{E}~dv\qquad[4]\]

Par ailleurs : \[\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\rm grad}(V)\]

On a donc : \[d\Theta=-\int_v\rho~\big\{\overrightarrow{\delta\lambda}\cdot\overrightarrow{\rm grad}(V)\}~dv\qquad[5]\]

Compte tenu de l’identité : \[\rm div(\rho~V~\overrightarrow{\delta\lambda})=\rho~\overrightarrow{\delta\lambda}\cdot\overrightarrow{\rm grad}(V)+V~div(\rho~\overrightarrow{\delta\lambda})\]

Il vient : \[d\Theta=\int_v V~{\rm div}(\rho~\overrightarrow{\delta\lambda})-\int_v {\rm div}(\rho~V~\overrightarrow{\delta\lambda})~dv\qquad[6]\]

Or, on sait que : \[\delta\rho=-\rm div(\rho~\overrightarrow{\delta\lambda})\qquad[7]\]

Et, transformant la deuxième intégrale en intégrale de surface : \[d\Theta=-\int_v V~\delta\rho~dv-\int_S \rho~V~\big(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\delta\lambda}\big)~ds\qquad[8]\]

\(\rho~\big(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\delta\lambda}\big)~ds\) : quantité d’électricité qui sort à travers un élément \(dS\) de la surface \(S\) limitant le système. Cette dernière est fixe, par définition, car le système est repéré par rapport à des axes fixes non liés à la matière.

Nous pouvons convenir que \(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\delta\lambda}=0\), ce qui peut signifier que les déplacements sont nuls ou tangentiels sur \(S\). Alors, aucune charge ne traverse la surface \(S\) et le système est caractérisé par une charge totale constante \(Q\). Il reste simplement dans ce cas : \[d\Theta=-\int_v V~\delta\rho~dv\qquad[9]\]

La deuxième intégrale serait encore nulle si l’on avait \(\rho=0\) sur \(S\).

Si les charges du système occupent un volume fini, il est évidemment toujours possible de choisir une surface idéale \(S\) sur laquelle \(\rho=0\).

Si le système comprend tout l’espace, la limite \(S\) est alors rejetée à l’infini et il est souvent normal de faire \(\rho=0\) à l’infini, ce qui conduit à la formule simplifiée à une intégrale.

Quand des charges traversent la surface au cours du déplacement \(\overrightarrow{\delta\lambda}\), la deuxième intégrale n’est pas nulle et il faut écrire : \[d\Theta=-\int_v V~\delta\rho~dv-\int_S V~\delta Q~ds\qquad[10]\]

\(\delta Q\) désignant la charge totale qui sort du volume \(v\) à travers l’élément de surface \(dS\). Dans ce qui suit, sauf indication contraire, nous supposerons toujours que \(\delta Q=0\).

Si certaines des charges du système se trouvent distribuées sur des surfaces fixes \(\Sigma\) avec une densité superficielle \(\sigma\), il faut alors ajouter une intégrale de surface : \[d\Theta=-\int_v V~\delta\rho~dv-\int_S V~\delta\sigma~ds\qquad[11]\]

3. Énergie électrostatique d’un système de charges simples

3.1. Cas de deux charges simples

Supposons le système en équilibre. Les forces électriques \(\overrightarrow{F}\) doivent être alors équilibrées par des forces \(\overrightarrow{F'}\) d’une autre nature : \[\overrightarrow{F}+\overrightarrow{F'}=\overrightarrow{0}\qquad[11]\]

Les \(\overrightarrow{F'}\) sont des forces extérieures, les forces électriques étant les forces intérieures.

Si deux charges \(q\) se repoussent suivant la loi de Coulomb, des forces égales et opposées aux forces électriques \(\overrightarrow{F}\) doivent exister pour maintenir en place les deux charges.

Si \(\overrightarrow{F'}>\overrightarrow{F}\), mais si \(\overrightarrow{F'}\) ne diffère de \(\overrightarrow{F}\) que par une quantité infiniment petite, les charges auront un mouvement lent que nous pouvons rendre aussi lent que nous le voulons de manière à ce que l’énergie cinétique qui apparaît ainsi soit négligeable.

Le travail de ces forces extérieures est donc égal au travail des forces électriques changées de signe. Il est égal à l’augmentation de l’énergie \(\delta W\) du système : \[\delta W=-\delta\Theta=\int_v V~\delta\rho~dv\qquad[12]\]

D’une manière plus précise, le travail des forces extérieures est égal :

• à l’augmentation de l’énergie interne si l’on opère à entropie constante (\(dS=0\)) ;

• à l’augmentation de l’énergie libre (\(U-T~S\)) en opérant à température constante (\(dT=0\)).

Dans les deux cas, il définit une fonction caractéristique du système \(W\) et la variation de cette fonction est donnée par la formule précédente.

Pour définir la fonction énergie \(W\), il faut faire un choix de l’état pour lequel il sera convenu que \(W=0\). Nous pouvons choisir \(\rho=0~;~\sigma=0\).

Avec notre définition de l’énergie, puis avec la condition \(W=0\) quand \(\rho=0\), on a : \[W=\int_v\int_0^{\rho} V~\delta\rho~dv\qquad[13]\]

Pour pouvoir calculer \(W\), il faut connaître \(V(\rho)\).

3.2. Équilibre d’un système électrostatique

La fonction énergie permet de calculer les forces généralisées s’exerçant sur les différentes parties d’un système.

Pour connaître la force totale \(\overrightarrow{F}\) de nature électrique qui s’exerce sur le solide \(v_1\) supposé rigide, on peut imaginer une translation \(\overrightarrow{\delta\lambda}\).

Grandeur de la force dans la direction \(\lambda\) : \[F_{\lambda}=-\frac{\partial W}{\partial\lambda}\qquad[14]\]

\(W\) joue donc le même rôle que l’énergie potentielle de la mécanique classique.

Les forces \(\overrightarrow{F}\) sont équilibrées par des forces non électriques \(\overrightarrow{F'}\) : \[\overrightarrow{F}+\overrightarrow{F'}=\overrightarrow{0}\]

Si les forces \(\overrightarrow{F'}\) dérivent d’un potentiel \(U\) par exemple, on a : \[F'_{\lambda}=-\frac{\partial U}{\partial\lambda}\qquad[15]\]

La condition de l’équilibre de translation du corps \(v_1\) s’écrira : \[\frac{\partial}{\partial\lambda}(U+W)=0\qquad[16]\]

L’équilibre sera stable quand la fonction (\(U+W\)) atteindra un minimum.

Au lieu de considérer la translation d’ensemble d’un des corps du système, on peut imaginer la rotation d’un angle \(\delta\omega\) autour d’un axe déterminé. On aurait alors pour le moment des forces électriques par rapport à cet axe : \[\Gamma_{\omega}=-\frac{\partial W}{\partial\omega}\qquad[17]\]

Pour le moment des forces de nature non électrique, on aurait de même : \[\Gamma'=-\frac{\partial U}{\partial\omega}\qquad[18]\]

D’où la condition d’équilibre de rotation autour de cet axe : \[\frac{\partial}{\partial\omega}(U+W)=0\qquad[19]\]

L’énergie électrostatique étant une énergie potentielle, la fonction de Lagrange correspondante s’obtient par simple changement de signe, soit : \[L=-W=-\int_v\int_0^{\rho} V~\delta\rho~dv\qquad[20]\]

En magnétostatique, au contraire, \(L=W\), car l’énergie emmagasinée est cinétique.

4. Expression de l’énergie fonction des champs : localisation

4.1. Distributions volumiques

Supposons les charges dans un volume \(v\) limité par la surface \(S\). Un déplacement \(\overrightarrow{\delta\lambda}\) des charges entraîne dans chaque élément de volume une variation \(\delta\rho\) de \(\rho\).

Comme \(\rho=\rm div(\overrightarrow{D})\), la formule donnant la variation d’énergie, s’écrit : \[\delta W=\int_v V~\delta({\rm div}\overrightarrow{D})~dv=\int_v V~{\rm div}(\delta\overrightarrow{D})~dv\qquad[21]\]

Compte tenu des relations div / grad et après avoir transformé en intégrale de surface la partie portant sur la divergence, il vient : \[\delta W=\int_v\overrightarrow{E}\cdot\delta\overrightarrow{D}+\int_S(\overrightarrow{n}\cdot\delta\overrightarrow{D})~V~dS\qquad[22]\]

À l’extérieur de \(S\), on a : \[\rho'=0\quad;\quad \rm div(\overrightarrow{D'})=0\qquad[23]\]

Compte tenu de l’identité sur la divergence intégrée à tout le volume \(v'\) compris entre \(S\) et la surface sphérique \(\Sigma\) (volume extérieur): \[\int_{S+\Sigma}(\overrightarrow{n'}\cdot\overrightarrow{D'})~V'~dS=-\int_{v'}(\overrightarrow{E'}\cdot\overrightarrow{D'})~dv\]

Faisons tendre vers l’infini le rayon de la sphère. L’intégrale étendue à \(\Sigma\) tend vers zéro : \[\int_S(\overrightarrow{n'}\cdot\overrightarrow{D'})~V'~dS=-\int_{v'}(\overrightarrow{E'}\cdot\overrightarrow{D'})~dv\qquad[24]\]

L’intégrale de volume est étendue à tout l’espace extérieur à \(S\).

Faisons intervenir maintenant les conditions aux limites : \[\overrightarrow{D'}=\overrightarrow{D}\quad;\quad V'=V\quad;\quad\overrightarrow{n'}=-\overrightarrow{n}\qquad[25]\]

Il vient : \[\int_S(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{D})~V~dS=\int_{v'}(\overrightarrow{E'}\cdot\overrightarrow{D'})~dv\qquad[26]\]

On obtient finalement : \[\delta W=\int(\overrightarrow{E}\cdot\delta\overrightarrow{D})~dv\qquad[27]\]

L’intégrale étant étendue à la somme des volumes \(v\) et \(v'\) intérieurs et extérieurs à \(S\), c’est-à-dire à tout l’espace.

Pour l’énergie elle-même, les conditions à l’origine : \[\rho=0\quad;\quad\overrightarrow{D}=\overrightarrow{0}\qquad[28]\]

on a l’expression : \[W=\int\int_0^D(\overrightarrow{E}\cdot\delta\overrightarrow{D})~dv\qquad[29]\]

L’intégrale sur \(D\) est immédiate puisque, en l’absence de polarisation, on a : \[\overrightarrow{D}=\varepsilon_0~\overrightarrow{E}\qquad[31]\]

Finalement : \[\begin{aligned} &W=\frac{1}{\varepsilon_0}\int\int_0^D(\overrightarrow{D}\cdot\delta\overrightarrow{D})~dv=\frac{1}{2~\varepsilon_0}\int D^2~dv\\ &W=\frac{1}{2}\int(\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{D})~dv=\frac{\varepsilon_0}{2}\int E^2~dv \end{aligned} \qquad[32]\]

4.2. Distributions superficielles

Nous conservons la même figure en supposant que les charges sont distribuées cette fois sur la surface \(S\) avec une densité \(\Sigma\).

D’après ce qui précède, on peut écrire : \[\delta W=\int_S V~d\sigma~ds\qquad[33]\]

\(\rho=0\) partout, à l’extérieur comme à l’intérieur de la surface.

On a \(\rm div\overrightarrow{D}=0\).

La démonstration ne sera pas faite, sachant que l’on peut raisonner tout à fait comme précédemment par analogie. Signalons cependant l’introduction des conditions aux limites : \[\overrightarrow{n'}=-\overrightarrow{n}\quad;\quad \overrightarrow{n}\cdot(\overrightarrow{D'}-\overrightarrow{D})=\sigma\qquad[34]\]

Tous calculs faits, on aboutit à la même formule que pour une distribution volumique, soit : \[\delta W=\int_S V~d\sigma~dS=\int(\overrightarrow{E}\cdot\delta\overrightarrow{D})~dv\qquad[35]\]

On vérifie sans peine que l’on aboutit à la même expression pour l’énergie quand il y a les deux types de distributions à la fois : \[W=\int\int_0^D(\overrightarrow{E}\cdot\delta\overrightarrow{D})~dv\qquad[36]\]

5. Énergie propre des particules élémentaires

En l’absence de tout renseignement sur la structure des particules élémentaires comme les électrons, les protons, etc., celles-ci sont considérées souvent comme ponctuelles. Au point de vue de l’énergie, cela conduit à des difficultés.

Si \(q\) est la charge de la particule, on a en effet : \[W=\frac{\varepsilon_0}{2}\int E^2~dv=\frac{\varepsilon_0}{2}~\frac{q^2}{(4\pi~\varepsilon_0)^2}\int_0^{\infty}\frac{1}{r^4}=\frac{q^2}{8\pi~\varepsilon_0}~\Big[\frac{1}{r}\Big]_0^{\infty}\qquad[37]\]

On trouve donc une énergie propre infinie. En théorie classique, on a l’habitude de lever cette difficulté en admettant que toute la charge de la particule est répartie sur une sphère de rayon \(a\). Le champ est alors nul à l’intérieur et : \[W=\frac{1}{4\pi~\varepsilon_0}~\frac{q^2}{2~a}\qquad[38]\]

Mais la théorie de la relativité conduit à la valeur \(W=m_0~c^2\) pour l’énergie au repos d’une particule de masse \(m_0\), \(c\) étant la vitesse de la lumière dans le vide. On en déduit dans ces conditions : \[a=\frac{1}{4\pi~\varepsilon_0}~\frac{q^2}{2~m_0~c^2}\quad;\quad 4\pi~\varepsilon_0~c^2=1\qquad[39]\]

Pour le rayon de l’électron, on trouve ainsi \(a\approx 10^{-15}\) m.

Pour le proton, on obtient \(a\approx 10^{-18}~\)m.

On notera que le champ de gravitation est beaucoup plus faible que le champ électrique et l’énergie qui lui correspond est tout à fait négligeable. On a en effet \(k~m_0\) au lieu de \(q/4\pi~\varepsilon_0\) dans le potentiel, \(k\) étant la constante de gravitation.

Par exemple, pour un électron : \[\begin{aligned} \frac{q}{4\pi~\varepsilon_0}&=1,4\times 10^{-9}\\ k~m_0&=6,7\times 10^{-5}\times 9,0\times 10^{-31}\approx 6\times 10^{-35} \end{aligned} \qquad[40]\]

On peut faire évidemment d’autres hypothèses sur la répartition des charges, mais on trouve toujours des nombres du même ordre de grandeur pour les dimensions de la distribution.

Ces types de raisonnement n’ont aucun fondement sérieux.

6. Énergie mutuelle d’un système de particules ponctuelles

Dans toutes les transformations que nous aurons à envisager, l’énergie propre des particules élémentaires restera inchangée. On peut ne pas en tenir compte et ne considérer que les énergies mutuelles des particules.

Nous définissons l’énergie mutuelle comme le travail des forces extérieures pour amener toutes les charges de l’infini où \(V=0\) aux points qu’elles occupent effectivement.

Nous procèderons par récurrence.

Si l’on a deux charges ponctuelles \(q_1\) et \(q_2\) aux points \(P_1\) et\( P_2\), l’énergie de \(q_2\) dans le champ de \(q_1\) est : \[W=q_2~V_{12}\qquad(V_{12}~:~\text{potentiel créé par [1] au point de [2]})\]

et réciproquement pour l’autre charge, soit \(W=q_1~V_{21}\).

On peut donc écrire : \[W=\frac{1}{2}~(q_1~V_{21}+q_2~V_{12})\qquad[41]\]

On obtiendrait de la même manière, pour une combinaison de trois charges : \[W=\frac{1}{2}~\big\{q_1~(V_{21}+V_{23})+q_2~(V_{31}+V_{32})+q_3~(V_{12}+V_{21})\big\}\qquad[42]\]

Généralisant à un nombre quelconque de charges : \[W=\frac{1}{2}~\sum_{i=1}^n q_i~\sum_j^{i\neq j} V_{ij}=\frac{1}{2}~\sum_i q_i~V_i\qquad[43]\]

On pourrait ensuite passer d’une distribution de charges ponctuelles à une distribution continue en remplaçant les sommes finies par des intégrales ; ce faisant, on introduirait d’ailleurs les énergies propres et l’on obtiendrait la formule établie précédemment (§ 3.1) : \[W=\frac{1}{2}\int_\sigma~V~ds\qquad[44]\]

Pour des distributions linéaires les énergies propres sont infinies et il faut aussi se limiter aux énergies mutuelles.

Si on a plusieurs lignes chargées avec des densités linéaires \(\lambda_i\) comme indiqué dans la figure, des raisonnements analogues à ceux des lignes précédentes conduisent à la formule : \[W=\frac{1}{2}~\sum_{i,~j}^{i\neq j}\int_{C_i}\lambda_i~V_j~dl_i+2~\sum_i\int_{C_i}\lambda_i~V_0~dl_i\qquad[45]\]

• \(V_0\)  :  potentiel de charges fixes extérieures au système

• \(V_j\)  :  potentiel produit par la ligne \(j\)