1. Introduction

Chapitre reconstitué d’après des notes de l’époque à partir de l’ouvrage de L. Landau et E. Lifchitz, les notations des auteurs étant conservées (voir Références).

En mécanique quantique, les valeurs que peut prendre une grandeur physique donnée sont ses valeurs propres. Leur ensemble constitue le spectre (continu ou discret) des valeurs propres de cette grandeur. Nous appellerons \(f\) cette grandeur physique envisagée et supposerons dans un premier temps que son spectre est discret.

Le spectre de ses valeurs propres sera noté \(f_n\) avec \(n=0,~1,~2,~3,~\dots\) La fonction d’onde correspondant à l’état où \(f\) a la valeur \(f_n\) est notée \(\Psi_n\).

Chacune de ces fonctions est normalisée : \[\int |\Psi_n|^2~dq=1\qquad[1]\]

Si le système se trouve dans un état arbitraire de fonction d’onde \(\Psi\), alors la mesure de la grandeur \(f\) donne l’une des valeurs propres \(f_n\).

En vertu du principe de superposition, la fonction d’onde \(\Psi\) doit être une combinaison linéaire des fonctions propres \(\Psi_n\) correspondant aux valeurs \(f_n\) susceptibles d’être rencontrées. Nous dirons encore susceptibles d’une probabilité non nulle lors de la mesure du système dans l’état considéré.

Ainsi, dans le cas général d’un état arbitraire, la fonction \(\Psi\) peut-elle être représentée par une série : \[\Psi=\sum_n a_n~\Psi_n\qquad[2]\]

La sommation portant sur tous les \(n\) et les \(a_n\) étant des coefficients constants.

2. Calcul des coefficients

Toute fonction d’onde peut être développée en série de fonctions propres de n’importe quelle grandeur physique. Un tel système de fonctions est dit complet (ou fermé).

Le développement [2] permet de déterminer la probabilité de trouver dans le système à l’état de fonction d’onde \(\Psi\) telle ou telle valeur \(f_n\) de \(f\). Ces probabilités (amplitudes de la fonction d’onde) doivent être déterminées par certaines expressions bilinéaires en \(\Psi\) et \(\Psi^*\). Elles doivent être naturellement bilinéaires en \(a_n\) et \(a_n^*\). Toutes ces expressions doivent être essentiellement positives.

Enfin, la probabilité de la valeur \(f_n\) doit être égale à 1 lorsque le système se trouve dans l’état de fonction d’onde \(\Psi=\Psi_n\). Elle doit s’annuler si le développement de la fonction d’onde \(\Psi\) ne contient pas \(\Psi_n\).

Cela signifie que la probabilité cherchée doit être égale à 1 si tous les coefficients \(a_n\) sont nuls sauf un (correspondant à \(n\) donné), égal à l’unité. Elle doit être nulle si \(a_n=0\).

La seule quantité essentiellement positive satisfaisant à cette condition est \(|a_n|^2\). Elle détermine la probabilité de la valeur correspondante \(f_n\) de \(f\) à l’état de fonction d’onde \(\Psi\). On doit donc avoir : \[\sum_n|a_n|^2=1\qquad[3]\]

Et d’une manière plus générale : \[\sum_n a_n~a_n^*=\int\Psi~\Psi^*~dq\qquad[4]\]

d’où il vient : \[a_n=\int\Psi~\Psi_n^*~dq\qquad[5]\]

Ce qui résulte du fait que l’ensemble des fonctions propres \(\Psi_n\) forme un système complet de fonctions orthonormées : \[\int\Psi_m~\Psi_n^*~dq=\delta_{mn}\qquad[6]\]

3. Valeur moyenne

Introduisons à présent la valeur moyenne \(\overline{f}\) de la grandeur \(f\) dans l’état donné. De manière classique (calcul des probabilités) : \[\overline{f}=\sum_n |a_n|^2\qquad[7]\]

Introduisons également l’opérateur \(\hat{f}\) tel que \((\hat{f}~\Psi)\) soit le résultat de l’application de cet opérateur à la fonction \(\Psi\). La relation précédente devient : \[\overline{f}=\int\Psi^*~(\hat{f}~\Psi)~dq\qquad[8]\]

Des relations qui précèdent, on peut tirer une nouvelle forme d’expression : \[\overline{f}=\sum_n f_n~a_n~a_n^*=\int\Psi^*\Big(\sum_n a_n~f_n~\Psi_n\Big)~dq\qquad[9]\]

Et, à partir de ces deux dernières relations : \[\hat{f}~\Psi=\sum_n a_n~f_n~\Psi_n\qquad[10]\]

Si l’on substitue ici l’expression [5] de \(a_n\), il vient : \[\hat{f}~\Psi=\int K(q,~q')~\Psi(q')~dq'\qquad[11]\]

La fonction \(K(q,~q')\) étant le noyau de l’opérateur : \[K(q,~q')=\sum_n f_n~\Psi_n^*(q')~\Psi_n(q)\qquad[12]\]

Ainsi, à chaque grandeur physique en mécanique quantique correspond un opérateur linéaire déterminé.

4. Opérateurs transposés

Les fonctions propres de la grandeur physique donnée \(f\) sont donc les solutions de l’équation : \[\hat{f}~\Psi=f~\Psi\quad\Rightarrow\quad\hat{f}~\Psi_n=f_n~\Psi_n\qquad[13]\]

La forme des opérateurs pour diverses grandeurs physiques peut être déterminée par considérations physiques directes. La propriété indiquée des opérateurs permet de trouver les fonctions et valeurs propres en résolvant les équations [13].

Les grandeurs physiques sont des quantités réelles. La valeur moyenne d’une grandeur physique doit aussi être réelle.

Inversement, si la valeur moyenne d’une grandeur physique est réelle, il doit en être de même de toutes ses valeurs propres. Il suffit de remarquer que les valeurs moyennes coïncident avec les valeurs propres dans les états décrits par les fonctions \(\Psi_n\).

La réalité des valeurs moyennes permet de faire certaines déductions sur les propriétés des opérateurs. Ainsi, égalant l’expression [8] à son expression conjuguée, on obtient la relation : \[\int\Psi^*~(\hat{f}~\Psi)~dq=\int\Psi~(\hat{f}^*~\Psi^*)~dq\qquad[14]\]

\(\hat{f}^*\) désignant l’opérateur conjugué complexe de \(\hat{f}\).

On peut par ailleurs retenir que : \[\hat{f}~\Psi=\Phi\quad\Rightarrow\quad\hat{f}^*~\Psi^*=\Phi^*\qquad[15]\]

À chaque opérateur \(\hat{f}\) on peut mettre en correspondance son transposé \(\tilde{\hat{f}}\) défini par : \[\int\Psi~(\hat{f}~\Phi)~dq=\int\Phi~(\tilde{\hat{f}}~\Psi)~dq\qquad[16]\]

\(\Psi\) et \(\Phi\) étant deux fonctions différentes.

Si l’on choisit pour pour \(\Phi\) la conjuguée \(\Psi^*\) de \(\Psi\), la comparaison avec [14] montre que : \[\tilde{\hat{f}}=\hat{f}^*\qquad[17]\]

Les opérateurs satisfaisant à cette condition sont dits hermitiques.

La condition d’hermiticité signifie que le noyau de l’opérateur doit être tel que : \[K(q,~q')=K^*(q',~q)\qquad[18]\]

Les opérateurs correspondant dans l’appareil mathématique de la mécanique quantique à des grandeurs physiques réelles doivent être hermitiques.

Formellement, on peut envisager aussi des grandeurs physiques complexes, c’est-à-dire des grandeurs physiques dont les fonctions propres sont complexes. Soit \(f\) une telle grandeur. On peut alors introduire sa conjuguée complexe \(f^*\) dont les valeurs propres sont alors les conjuguées complexes des valeurs propres de \(f\).

Désignons alors par \(\hat{f}^+\) l’opérateur correspondant à \(f^*\). Cet opérateur est dit autoadjoint de \(\hat{f}\) et il convient, en général, de le distinguer de l’opérateur de conjugaison complexe \(\hat{f}^*\).

Considérant la condition : \[\overline{f^*}=\overline{(f)}^{~^*}\]

on déduit que : \[\hat{f}^+=\tilde{\hat{f^*}}\qquad[19]\]

Ce qui montre que, en règle générale, \(\hat{f}^+\) ne coïncide pas avec \(\hat{f}^*\).

Pour une grandeur physique réelle \(\hat{f}=\hat{f}^+\) : l’opérateur coïncide avec son adjoint (les opérateurs hermitiques sont également dits autoadjoints).

5. Addition et produits d’opérateurs

5.1. Addition

Si les \(\Psi_n\) sont les fonctions propres communes à deux opérateurs \(\hat{f}\) et \(\hat{g}\), alors les valeurs propres de l’opérateur \((\hat{f}+\hat{g})\) sont égales à la somme des valeurs propres : \[(\hat{f}+\hat{g})~\Psi_n=(f_n+g_n)~\Psi_n\qquad[20]\]

La démonstration est évidente.

Pour les valeurs moyennes : \[\overline{(f+g)}=\overline{f}+\overline{g}\qquad[21]\]

Résultat intuitif, mais il est intéressant de présenter le calcul correspondant : \[[22]\qquad \begin{aligned} &\overline{(f+g)}=\int\Psi^*~(\hat{f}+\hat{q})~\Psi~dq\\ &\overline{(f+g)}=\int\Psi^*~\hat{f}~\Psi~dq+\int\Psi^*~\hat{g}~\Psi~dq=\overline{f}+\overline{g} \end{aligned}\]

Théorème caractéristique

Soient \(f_0\) et \(g_0\) les plus petites valeurs propres de \(f\) et \(g\), et \((f+g)_0\) la plus petite valeur de \((f+g)\). On peut alors affirmer que : \[(f+g)_0~\geq~f_0+g_0\qquad[23]\]

L’égalité a lieu lorsque les grandeurs \(f\) et \(g\) sont simultanément mesurables. La démonstration résulte du fait évident que la valeur moyenne d’une grandeur est toujours plus grande ou égale à sa plus petite valeur propre.

5.2. Produit

Considérons deux grandeurs \(f\) et \(g\) supposées simultanément mesurables.

La notation \(\hat{f}~\hat{g}\) désigne un opérateur dont l’action sur la fonction \(\Psi\) consiste dans l’application successive de \(\hat{g}\) sur la fonction \(\Psi\) puis de \(\hat{f}\) sur la fonction obtenue \(\hat{g}~\Psi\).

L’opération est commutative : \[\hat{f}~\hat{g}=\hat{g}~\hat{f}\qquad\text{ou encore :}\quad\hat{f}~\hat{g}-\hat{g}~\hat{f}=0\qquad[24]\]

Ce qui se démontre aisément en considérant les fonctions propres \(\Psi_n\) communes aux deux opérateurs : \[\hat{f}~\hat{g}~\Psi_n=\hat{f}~(\hat{g}~\Psi_n)=\hat{f}~g_n~\Psi_n=g_n~\hat{f}~\Psi_n=g_n~f_n~\Psi_n=f_n~g_n~\Psi_n=\hat{g}~\hat{f}~\Psi_n\qquad[25]\]

La relation [25] signifie que les opérateurs commutent entre eux.

Nous sommes ainsi conduits à cet important résultat : Si deux grandeurs \(f\) et \(g\) peuvent avoir simultanément des valeurs déterminées leurs opérateurs sont commutatifs.

Et la réciproque est vraie : Si les opérateurs \(f\) et \(g\) sont commutatifs, toutes leurs fonctions propres peuvent être choisies communes, ce qui signifie que les grandeurs physiques correspondantes sont simultanément mesurables.

Ainsi, la commutativité d’opérateurs est la condition nécessaire et suffisante pour que deux grandeurs physiques soient simultanément mesurables.

Un produit particulier est celui de l’élévation à une puissance entière. Si l’on considère l’opérateur \(\hat{f}^p\), ses valeurs propres seront égales aux valeurs propres de \(\hat{f}\) élevées à cette même puissance.

Plus généralement, on peut définir une fonction arbitraire d’opérateur \(\phi(\hat{f})\) en tant qu’opérateur dont les valeurs propres sont égales à cette même fonction \(\phi(f)\) des valeurs propres de l’opérateur \(\hat{f}\).

Si la fonction \(\phi(f)\) est développable en série de Taylor, l’action de l’opérateur \(\phi(\hat{f})\) est ramenée à ce même développement à l’action des diverses puissances \(\hat{f}^p\).

En particulier, \(\hat{f}^{-1}\) est dit l’inverse de \(\hat{f}\) : \[\hat{f}~\hat{f}^{-1}=\hat{f}^{-1}~\hat{f}=1\qquad[26]\]

C’est-à-dire l’opérateur identité.

Considérons à présent deux grandeurs non simultanément mesurables. Alors l’opérateur \(\hat{f}~\hat{g}\) n’est plus autoadjoint et ne peut correspondre à une grandeur physique quelconque.

5.3. Effets d’une transposition

Considérons maintenant la transposition vue dans un contexte plus général, donc sur un couple d’opérateurs.

Par définition de l’opérateur transposé : \[\int\Psi~\hat{f}~\hat{g}~\Phi~dq=\int\Psi~\hat{f}~(\hat{g}~\Phi)~dq=\int(\hat{g}~\Phi)~(\tilde{\hat{f}}~\Psi)~dq\qquad[27]\]

L’opérateur \(\tilde{\hat{f}}\) n’agit que sur \(\Psi\) et l’opérateur \(\hat{g}\) sur \(\Phi\), de sorte que l’on a sous le signe somme un produit de deux fonctions [\(\hat{g}~\Phi\)] et [\(\tilde{\hat{f}}~\Psi\)].

En appliquant une deuxième fois la définition de l’opérateur transposé : \[\int\Psi~\hat{f}~\hat{g}~\Phi~dq=\int(\tilde{\hat{f}}~\Psi)(\hat{g}~\Phi)~dq=\int\Phi~\tilde{\hat{g}}~\tilde{\hat{f}}~\Psi~dq\qquad[28]\]

Ainsi, exprime de manière plus lisible : \[\text{Trans}[\hat{f}~\hat{g}]=\text{Trans}[\hat{g}]~~\text{Trans}[\hat{f}]\qquad[29]\]

En appliquant la conjugaison complexe aux deux membres de la relation précédente : \[(\hat{f}~\hat{g})^+=\hat{g}^+~\hat{f}^+\qquad[30~a]\]

Si chacun des opérateurs est hermitique : \[(\hat{f}~\hat{g})^+=\hat{g}~\hat{f}\qquad[30~b]\]

Il en résulte que l’opérateur \(\hat{f}~\hat{g}\) n’est hermitique que si \(\hat{f}\) et \(\hat{g}\) sont commutatifs.

Notons qu’avec les produits \(\hat{f}~\hat{g}\) et \(\hat{g}~\hat{f}\) de deux opérateurs hermitiques non commutatifs, on peut former un opérateur également hermitique en écrivant la combinaison symétrique : \[\frac{1}{2}~(\hat{f}~\hat{g}+\hat{g}~\hat{f})\qquad[31]\]

On a parfois à utiliser des expressions de ce genre dits produits symétrisés.

On peut s’assurer par ailleurs que la différence \((\hat{f}~\hat{g}-\hat{g}~\hat{f})\) est un opérateur antihermitique, c’est-à-dire que son transposé est égale à son complexe conjugué changé de signe.

Toutefois, il peut être rendu hermitique au moyen d’une multiplication par \((i)\). C’est le cas de l’opérateur : \[i~(\hat{f}~\hat{g}-\hat{g}~\hat{f})\]

Rappelons la notation abrégée : \[\{\hat{f},~\hat{g}\}=\hat{f}~\hat{g}-\hat{g}~\hat{f}\qquad[32]\]

qui est le commutateur des deux opérateurs.

On peut vérifier par ailleurs que : \[\{\hat{f}~\hat{g},~\hat{h}\}=\{\hat{f},~\hat{h}\}~\hat{g} +\hat{f}~\{\hat{g},~\hat{h}\}\qquad[33]\]

Notons enfin que si \(\{\hat{f},~\hat{h}\}=0\) et \(\{\hat{g},~\hat{h}\}=0\), il n’en résulte, en général, aucunement la commutativité de \(\hat{f}\) et \(\hat{g}\).

6. Matrices

Nous faisons toujours l’hypothèse du spectre énergétique discret, ce qui n’enlève rien à l’aspect général des propositions. Toutes les relations déduites se généralisant immédiatement au spectre continu.

Soit \(\Psi=\sum a_n~\Psi_n\) le développement d’une fonction d’onde arbitraire en fonctions d’onde \(\Psi_n\) d’états stationnaires. La valeur moyenne d’une grandeur \(f\) sera donc exprimée par : \[[34]\qquad \left\{ \begin{aligned} &\overline{f}=\int\Psi^*~(\hat{f}~\Psi)~dq=\sum_n\sum_m a_n^*~a_m~f_{nm}(t)\\ &\text{avec}~:~f_{nm}(t)=\int\Psi^*~(\hat{f}~\Psi)~dq \end{aligned} \right.\]

L’ensemble des quantités \(f_{nm}(t)\), avec \(n\) et \(m\) arbitraires est appelé matrice de \(f\) et on dit que chaque \(f_{nm}(t)\) est un élément matricielcorrespondant à la transition de l’état \(n\) à l’état \(m\).

On rencontre très souvent les notations : \[f_n^m~~~\text{ou}~~~(n|f|m)\qquad[35]\]

pour désigner ces mêmes éléments matriciels .

Rappelons, avant de poursuivre, un ensemble fondamental de relations classiques : \[[36]\qquad \left\{ \begin{aligned} i~\hbar~\frac{\partial\Psi}{\partial t}&=\hat{H}~\Psi\\ i~\hbar~\frac{\partial\Psi_n}{\partial t}&=\hat{H}~\Psi_n=E_n~\Psi_n\\ \Psi_n&=\exp\big(-\frac{i}{\hbar}~E_n~t\big)~\Psi_n(q) \end{aligned} \right.\]

La dépendance des éléments matriciels \(f_{nm}(t)\) est déterminée (si l’opérateur \(\hat{f}\) ne contient pas \(t\) explicitement) par la dépendance des fonctions \(\Psi_n\) du temps. Il vient : \[\begin{aligned} f_{nm}(t)&=f_{nm}~\exp(i~\omega_{nm}~t)\\ \omega_{nm}&=\frac{E_n-E_m}{\hbar}\qquad\qquad\qquad[37] \end{aligned}\]

\(\omega_{nm}\) est la fréquence de transition entre les états \(n\) et \(m\).

Quant aux quantités : \[f_{nm}=\int\Psi_n^*~\hat{f}~\Psi_m~dq\qquad[38]\]

elles forment la matrice, indépendante du temps, de la grandeur \(f\). C’est habituellement à cette matrice que l’on a affaire.

On notera par ailleurs que les \(\omega_{nm}\) satisfont à la relation : \[\omega_{nm}+\omega_{ml}=\omega_{nl}\qquad[39]\]

Si l’on désigne par \(\dot{f}\) la dérivée de \(f\), son expression est déterminée à partir de [37] et on obtient pour ses éléments matriciels : \[(\dot{f})_{nm}=i~\omega_{nm}~f_{nm}=\frac{i}{\hbar}~(E_n-E_m)~f_{nm}\qquad[40]\]

Dans ce qui suit et afin de simplifier les notations, les relations seront déduites pour des éléments matriciels indépendant du temps. Une fois encore, des relations identiques sont obtenues pour les matrices dépendant du temps.

Pour des grandeurs physiques réelles, les seules que nous envisagions habituellement : \[f_{nm}=f_{mn}^*\qquad[41]\]

De telles matrices ainsi que les opérateurs correspondants sont dites hermitiques . Les éléments matriciels tels que \(n=m\) sont dits diagonaux. Ces éléments ne dépendent pas du temps, et la relation précédente d’hermiticité prouve qu’ils sont réels. Ainsi, l’élément \(f_{nn}\) est la grandeur moyenne de la grandeur \(f\) à l’état \(\Psi_n\).

À partir de l’action de l’opérateur \(\hat{f}~\hat{g}\) sur les fonctions propres \(\Psi_n\), on établit sans peine la règle de multiplication des matrices. Nous partons du développement de la fonction \(\hat{f}~\Psi_n\) en fonctions \(\Psi_m\) : \[\hat{f}~\Psi_n=\sum_m f_{mn}~\Psi_m\qquad[42]\]

À partir de cette formule, nous écrirons pour le résultat de l’action du produit de deux opérateurs sur \(\Psi_n\) : \[\hat{f}~\hat{g}~\Psi_n=\hat{f}~(\hat{g}~\Psi_n)=\hat{f}~\sum_k g_{kn}~\Psi_k=\sum_k g_{kn}~\hat{f}~\Psi_k=\sum_{k,~m}g_{kn}~f_{mk}~\Psi_m\qquad[43]\]

Mais, puisque par ailleurs on doit avoir : \[\hat{f}~\hat{g}~\Psi_n=\sum_m(f~g)_{mn}~\Psi_m\qquad[44]\]

Nous sommes amenés à ce résultat que les éléments matriciels du produit \(fg\) sont donnés par l’expression : \[(f~g)_{mn}=\sum_k f_{mk}~g_{kn}\qquad[45]\]

On retrouve la règle de multiplication des matrices utilisée en mathématiques.

La donnée d’une matrice équivaut à la donnée de l’opérateur lui-même. Notamment, la connaissance de la matrice permet, en principe, de déterminer les valeurs propres de la grandeur physique envisagée et les fonctions propres correspondantes.

Partons à présent de la relation [38] et posons : \[\Psi=\sum_m c_m~\Psi_m\qquad[46]\]

les fonctions d’onde \(\Psi_m\) étant les fonctions propres de l’opérateur \(\hat{H}\).

Un calcul intégral classique permet d’obtenir la relation : \[\sum_m(f_{nm}-f~\delta_{nm})=0\qquad[47]\]

Il s’agit d’un système linéaire d’équations algébriques homogènes (inconnues \(c_m\)).

On sait que ce système admet des solutions non nulles seulement si le déterminant formé avec les coefficients est nul : \[|f_{nm}-f~\delta_{nm}|=0\qquad[48]\]

Les racines de cette équation (où f est considérée comme inconnue) sont les valeurs possibles de la grandeur \(f\).

L’ensemble des quantités \(c_m\) satisfaisant aux équations [48], \(f\) étant égale à l’une quelconque de ces valeurs, détermine la fonction propre correspondante.

Si, dans la définition [38] des éléments matriciels de la grandeur \(f\), l’on prend, en qualité de \(\Psi_n\), les fonctions propres de \(f\) elle-même, alors, en vertu de l’équation : \[\hat{f}~\Psi_n=f_n~\Psi_n\]

on aura : \[f_{nm}=\int\Psi_n^*~\hat{f}~\Psi_m~dq=f_m\int\Psi_n^*~\Psi_m~dq\qquad[49]\]

Les fonctions \(\Psi_m\) étant normalisées, on a : \[[50]\qquad \left\{ \begin{aligned} &f_{nm}=0~~~\text{pour}~~~n\neq m\\ &f_{mm}=f_m \end{aligned} \right.\]

Ainsi, seuls les éléments matriciels diagonaux ne sont pas nuls, chacun d’eux étant égal à la valeur propre correspondante de \(f\). On dit d’une telle matrice qu’elle a été réduite à sa forme diagonale.

Notamment, dans la représentation ordinaire où les \(\Psi_n\) sont les fonctions d’onde des états stationnaires, la matrice de l’énergie est diagonale (et il en est de même des matrices de toutes les autres grandeurs ayant des valeurs déterminées dans les états stationnaires).

En général, on dit de la matrice d’une grandeur \(f\) déterminée au moyen des fonctions propres d’un opérateur \(\hat{g}\) qu’elle est la matrice de \(f\) dans la représentation où la matrice de \(\hat{g}\) est diagonale.

7. Transformation des matrices

Les éléments matriciels d’une seule et même grandeur physique peuvent être déterminés vis-à-vis de divers ensembles de fonctions d’onde. Tels peuvent être, par exemple, les fonctions d’onde des états stationnaires décrits par différents choix de grandeurs physiques ou les fonctions d’onde des états stationnaires d’un seul et même système plongé dans différents champs extérieurs.

Ceci étant, le problème se pose de la transformation des matrices lorsqu’on passe d’une représentation à une autre.

Soient \(\Psi_n(q)\) et \(\Psi'_n(q)\) deux systèmes complets de fonctions orthonormées. Elles sont liées les unes aux autres par une certaine transformation linéaire : \[\Psi'_n=\sum_n S_{mn}~\Psi_m=\hat{S}~\Psi_n\qquad[51]\]

L’opérateur \(\hat{S}\) doit être soumis à une condition déterminée pour assurer l’orthonormalité des fonctions \(\Psi'_n\) dès qu’il en est ainsi des \(\Psi_n\).

En substituant [51] dans la relation classique : \[\int{\Psi'_n}^*~\Psi'_n~dq=\delta_{mn}\]

on obtient, tous calculs faits : \[\text{Transp}(\hat{S}^*)=\hat{S}^+~\hat{S}^{-1}\qquad[52]\]

C’est-à-dire que l’inverse de l’opérateur coïncide avec l’opérateur adjoint. Les opérateurs jouissant d’une telle propriété sont dits unitaires.

On démontre que : \[\sum_lS_{lm}^*~S_{ln}=\delta_{mn}\quad\text{ou}\quad\sum_l S_{ml}^*~S_{nl}=\delta_{mn}\qquad[53]\]

Considérons à présent une grandeur physique quelconque \(f\) et écrivons ses éléments matriciels dans la nouvelle représentation, c’est-à-dire relativement aux fonctions \(\Psi'_n\). Tous calculs faits à partir des relations intégrales, on montre que : \[\hat{f}'=\hat{S}^{-1}~\hat{f}~\hat{S}\qquad[54]\]

Si l’on s’intéresse à la trace de la matrice (somme des éléments diagonaux) : \[\text{Trace}(f)=\sum_n f_{nn}\]

On peut montrer que (règle de multiplication des matrices) : \[\text{Trace}(f~g)=\sum_n\sum_k f_{nk}~g_{kn}=\sum_k\sum_n g_{kn}~f_{nk}=\text{Trace}(g~f)\qquad[55]\]

D’une manière analogue, on vérifie que la trace du produit de plusieurs matrices n’est pas altéré par une permutation circulaire des facteurs. Ainsi : \[\text{Trace}(f~g~h)=\text{Trace}(h~f~g)=\text{Trace}(g~h~f)\qquad[56]\]

Une propriété importante de la trace est qu’elle ne dépend pas du système de fonctions relativement auxquelles sont déterminés les éléments matriciels. En effet : \[\text{Trace}(f)'=\text{Trace}(S^{-1}~f~S)=\text{Trace}(S~S^{-1}~f)=\text{Trace}(f)\qquad[57]\]

8. Du spectre discret au spectre continu

Toutes les relations déduites sur les propriétés des fonctions propres du spectre discret peuvent être généralisées sans difficulté au spectre continu des fonctions propres.

Soit \(f\) une grandeur finie douée d’un spectre continu. Nous désignons ses valeurs propres par la même lettre \(f\), sans indice, conformément au fait que \(f\) parcourt un ensemble continu de valeurs.

Nous désignons par \(\Psi_f\) la fonction propre correspondant à \(f\).

De même qu’une fonction d’onde arbitraire \(\Psi\) peut être développée en série de fonctions propres de la grandeur à spectre discret, elle peut, dans le cas du spectre continu, être représentée – cette fois-ci par une intégrale – par le système complet de fonctions propres de la grandeur douée de spectre continu. On a la représentation : \[\Psi(q)=\int a_f~\Psi_f~df\qquad[58]\]

L’intégration étant étendue à tout l’ensemble de valeurs que peut prendre \(f\).

Nous normalisons les fonctions \(\Psi_f\) de façon que \(|a_f|^2~df\) représente la probabilité que la grandeur envisagée ait, dans l’état décrit par la fonction \(\Psi_f\), sa valeur dans l’intervalle donné \([f,~f+df]\). On a donc : \[\int|a_f|^2~df=1\qquad[59]\]

Notant par ailleurs que : \[\int|a_f|^2~df=\int\Psi~\Psi^*~dq=\iint a_f^*~\Psi_f^*~\Psi~df~dq\]

on obtient : \[a_f=\int\Psi(q)~\Psi_f^*(q)~dq\qquad[60]\]

Quant à la règle de normalisation, elle devient : \[\int\Psi_{f'}~\Psi_f^*~dq=\delta(f'-f)\]

\(\delta(f-f_0)\) désignant la fonction de Dirac au point \(f=f_0\).

Autre forme analogue : \[\int\Psi_f^*(q')~\Psi_n(q)~dq=\delta(q'-q)\qquad[61]\]

Soit \(\varphi(f)\) une fonction de la grandeur \(f\) telle que la correspondance entre \(\varphi\) et \(f\) soit biunivoque. Chacune des fonctions \(\Psi_f(q)\) peut être considérée comme une fonction propre de \(\varphi\) correspondant à la valeur de \(\varphi\) déterminée par la relation \(\varphi=\varphi(f)\).

Les conditions de normalisation devant être naturellement introduites : \[\int\Psi{\varphi(f')}~\Psi~{\varphi(f)}^*~dq=\delta\{\varphi(f')-\varphi(f)\}\qquad[62]\]

L’argument de la fonction \(\delta\) s’annule pour \(f'=f\).

Lorsque la valeur de \(f'\) est voisine de celle de \(f\), on peut écrire : \[\varphi(f')-\varphi(f)=\frac{d\varphi(f)}{df}~(f'-f)\qquad[63]\]

Or, on sait que (propriété de la fonction de Dirac) : \[\delta(a~x)=\frac{1}{|a|}~\delta(x)\]

Ce qui nous permet d’écrire : \[\delta\{\varphi(f')-\varphi(f)\}=\frac{1}{\Big|\cfrac{d\varphi(f)}{df}\Big|}~~\delta(f'-f)\qquad[64]\]

L’expression [62] devient : \[\int\Psi{\varphi(f')}~\Psi{\varphi(f)}^*~dq=\frac{1}{\Big|\cfrac{d\varphi(f)}{df}\Big|}~~\delta(f'-f) \qquad[63]\]

En comparant avec [61], on trouve que les fonctions \(\Psi_{\varphi}\) et \(\Psi_f\) sont liées entre elles par la relation : \[\Psi_{\varphi(f)}=\frac{1}{\sqrt{\Big|\cfrac{d\varphi(f)}{df}\Big|}}~\Psi_f\qquad[64]\]

Il existe enfin des grandeurs physiques possédant un spectre discret dans un certain domaine de leurs valeurs et un spectre continu ailleurs.

Toutes les relations précédentes subsistent et on écrit de manière plus générale : \[\Psi(q)=\sum_n a_n~\Psi_n(q)+\int a_f~\Psi_f(q)~df\qquad[65]\]

La sommation étant étendue au spectre discret et l’intégration au spectre continu tout entier.