Effet Stark. Théorie des perturbations. Effet Zeemann. Considérations expérimentales et théoriques.

1. Effet Stark

1.1. Considérations expérimentales

Quand un atome est placé dans un champ électrique (supposé uniforme), les niveaux d’énergie varient : c’est l’effet Stark.

Le moment cinétique total de l’atome cesse de se conserver. Seule est conservée la projection \(M_J\) du moment total \(\vec{J}\) sur la direction de ce champ.

Les états à valeurs distinctes de \(M_J\) possèderont des énergies distinctes. Autrement dit, le champ électrique va permettre de lever la dégénérescence dans la direction du moment. Mais toutefois de façon incomplète, car les états qui ne se distinguent que par le signe de \(M_J\) restent dégénérés entre eux.

Ceci est dû au fait que l’atome dans le champ électrique extérieur uniforme est symétrique par rapport à la réflexion par n’importe quel plan passant par l’axe de symétrie (axe passant par le noyau dans la direction du champ), axe pris comme axe des \(z\).

Les états se déduisant l’un de l’autre par une telle réflexion ont la même énergie. Mais par réflexion dans un plan passant par un certain axe, le moment cinétique par rapport à cet axe change de signe (inversion du sens positif de parcours autour de cet axe).

Nous supposerons le champ électrique suffisamment faible pour que l’énergie supplémentaire qu’il apporte soit petite comparée aux distances entre niveaux d’énergie voisins de l’atome (notamment par rapport aux intervalles de la structure fine).

La théorie des perturbations peut donc être appliquée au déplacement des niveaux.

1.2. Théorie des perturbations

L’opérateur est l’énergie \(\overrightarrow{\mathcal{E}}\) du système d’électrons dans le champ uniforme : \[V~=~-\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{\mathcal{E}}~=~-\mathcal{E}~d_z\quad;\quad\overrightarrow{d}~:~\text{moment dipolaire}\qquad(1)\]

1.2.1. Particularités

Seuls ne sont pas nuls les éléments des transitions sans changement de \(M_J\) :

• dans la matrice de \(d_z\) ;

• dans la composante sur l’axe des \(z\) de tout autre vecteur.

Les états se distinguant par des valeurs de \(M_J\) se comportent indépendamment l’un de l’autre lorsque l’on applique la théorie des perturbations.

Le déplacement des niveaux d’énergie est déterminé en première approximation par les éléments matriciels diagonaux correspondants de la perturbation.

Les éléments matriciels diagonaux du moment dipolaire s’annulent identiquement.

La désintégration des niveaux dans le champ électrique est un effet du second ordre, proportionnel au carré près du champ.

Son calcul doit se faire d’après les règles générales de la théorie des perturbations.

1.2.2. Méthode de calcul

Le déplacement \(\Delta E_n\) du niveau \(E_n\) est donné par : \[\Delta E_n~=~-\frac{1}{2}~\alpha_{ik}^{(n)}~\overrightarrow{\mathcal{E}_i}\cdot\overrightarrow{\mathcal{E}_k}\qquad(2)\]

\(\alpha_{ik}^{(n)}\) représente un tenseur symétrique de rang deux.

L’axe des \(z\) étant orienté selon le champ, on a : \[\Delta E_n~=~-\frac{1}{2}~\alpha_{ik}^{(n)}~\overrightarrow{\mathcal{E}}^2\qquad(3)\]

Ce tenseur caractérise le niveau donné (non désintégré) ; il dépend de \(M_J\).

Pour différents \(M_J\), les \(\alpha_{ik}^{(n)}\) sont des valeurs propres de l’opérateur : \[\widehat{\alpha}_{ik}^{(n)}~=~\alpha_n~\delta_{ik}~+~\beta_n~\{\widehat{J}_i~\widehat{J}_k+\widehat{J}_k~\widehat{J}_i-\frac{2}{3}~\delta_{ik}~\widehat{J}^2\}\qquad(4)\]

On déduit de (3) et (4)que : \[\Delta E_n~=~-\frac{\mathcal{E}^2}{2}~\big\{\alpha_n+2~\beta_n~\big[M_J^2-\frac{1}{3}~J~(J+1)\big]\big\}\qquad(5)\]

Par sommation sur tous les \(M_J\), le second terme de { } s’annule, de sorte que le premier terme représente le déplacement général du centre de gravité du niveau désintégré.

1.2.3. Cas du champ extérieur non uniforme

On suppose la variation relativement petite sur une distance de l’ordre de la dimension de l’atome, mais suffisante pour entrainer un effet de désintégration linéaire par rapport au champ, effet lié au moment quadrupolaire \(Q_{ik}\) de l’atome.

L’opérateur d’interaction quadrupolaire du système avec le champ est de la forme : \[\widehat{V}~=~\frac{1}{6}~\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_i~\partial x_k}~\widehat{Q}_{ik}\qquad(\varphi~:~\text{potentiel du champ électrique})\qquad(6)\]

Les dérivées sont supposées calculées au point de localisation de l’atome.

Noter que cette formule peut être appliquée à l’atome neutre situé dans le champ d’un électron qui s’est éloigné à grande distance par rapport aux dimensions de l’atome. Le champ de l’électron au point où se trouve l’atome est alors quasi uniforme.

Rappel sur le quadrupole \(Q\)

Dans une approche électrostatique élémentaire, le quadrupole est une distribution de charges telle que les barycentres des charges positives et des charges négatives sont confondus.

En physique mathématique, les moments multipolaires forment une base de décomposition d’une fonction (réaction d’un champ à des sources infiniment proches l’une de l’autre).

Les noyaux atomiques non sphériques ont un moment quadrupolaire électrique dont la mesure, en spectroscopie atomique, permet de déterminer l’écart à la sphéricité du noyau.

2. Effet Zeemann

En 1896, le physicien néerlandais Pieter Zeeman faisait cette découverte  : lorsqu’un spectre émis par des atomes est soumis à un champ magnétique, certaines raies spectrales sont susceptibles de se diviser en plusieurs composantes décalées en fréquence et polarisées.

La mesure du décalage en longueur d’onde est tout à fait possible à l’aide d’un interféromètre de Fabry-Perot dont l’écartement est maximum.

2.1. Considérations expérimentales

Le couplage spin – orbite peut engendrer une structure fine des raies spectrales.

Un champ magnétique extérieur est une autre cause de dédoublement.

Du fait de l’ensemble des moments cinétiques orbitaux et des moments de spin (à résultante non nulle), l’atome est équivalent à un aimant.

Ce moment résultant suit les mêmes lois quantiques que les autres moments ; en particulier, la projection sur un axe est quantifiée.

Placé dans un champ magnétique, l’atome pourra prendre plusieurs orientations. Mais, pour en changer, il devra gagner ou perdre de l’énergie.

Il faut s’attendre à une multiplication des raies spectrales, ce que l’expérience confirme. La spectrographie des raies émises par une source placée dans un champ magnétique fait apparaître des modes de décomposition très variés.

En l’absence de champ magnétique extérieur, les moments orbitaux et les moments de spin s’orientent, l’un par rapport à l’autre, de façon à donner une résultante.

Si on place l’atome dans un champ très faible, cette résultante s’oriente. Mais si l’on fait intervenir un champ très fort, le couplage spin – orbite est insuffisant pour maintenir la valeur de la résultante. Le champ extérieur agit sur les moments de spin et les moments orbitaux, si bien que l’atome oriente sans tenir compte de leur couplage.

On peut donc observer deux aspects extrêmes : champ très faible et champ très fort, avec, bien entendu, une variation continue de l’un à l’autre.

2.2. Considérations théoriques

Un atome placé dans un champ magnétique uniforme a pour hamiltonien : \[\widehat{H}~=~\frac{1}{2~m}~\sum_a(\widehat{p}_a-\frac{e}{c}~A_a)^2~+~U(x,~y,~z)~-~\frac{\hbar~e}{m~c}~B~\sum_a\widehat{s}_a\]

\(p_a\) : impulsion généralisée de la \(a.ieme\) particule

\(A_a\) : potentiel vecteur du champ magnétique au point où se trouve la particule

\(U(x,~y,~z)\) : énergie d’interaction des électrons entre eux et avec le noyau

\(\sum\widehat{s}_a\) : opérateur \(\widehat{S}\) du spin total de l’atome

2.2.1. Résultats principaux

Voici quelque résultats pratiques, la théorie n’étant pas développée ici.

L’énergie \(\Delta E\) de désintégration est déterminée par les valeurs moyennes de la perturbation dans les états de nombres quantiques \(J,~L,~S\) donnés et des différentes valeurs de \(M_J\) : \[\Delta E~=~\mu_0~\overline{(\overrightarrow{L}+2~\overrightarrow{S})}~\overrightarrow{B}~=~\mu_0~\overline{(\overrightarrow{J}+\overrightarrow{S})}~\overrightarrow{B}\qquad(\mu_0~:~\text{magnétron de Bohr})\]

Si l’on dirige l’axe des \(z\) suivant la direction du champ magnétique, on a : \[\Delta E~=~\mu_0~B~(\overline{J_z}+\overline{S_z})\]

Tous calculs faits, l’énergie de désintégration a pour expression définitive :

\[\begin{aligned} \Delta E~&=~\mu_0~g~M_J~B\qquad\qquad(M_J=-J,~-J+1,~\dots,~J)\\ g~&=~1+\frac{J~(J+1)-L~(L+1)+S~(S+1)}{2~J~(J+1)}\end{aligned}\]

\(g\) est appelé facteur de Landé ou facteur gyromagnétique.

Pour les diverses composantes du multiplet, ce facteur parcourt les valeurs :

• comprises entre les valeurs correspondant à \(J=L\pm S\) (si \(L\geq S\)) \[\frac{L+2S}{L+S}~\geq~g~\geq~\frac{L-2S+1}{L-S+1}\]

• comprises entre les valeurs correspondant à \(J=S\pm L\) (si \(L\leq S\)) \[\frac{L+2~S}{L+S}~\geq~g~\geq~\frac{2~S+2-L}{S-L+1}\]

2.2.2. Calculs annexes

L’effet Zeeman normal peut être décrit par approche semi-classique :

• l’électron décrit une orbite classique autour du noyau ;

• par contre, le moment angulaire est quantifié.

1) L’électron sur son orbite est équivalent à un courant : \[i~=~-~e~\frac{v}{2\pi~r}\]

2) \(\overrightarrow{s}\) étant un vecteur normal à la surface habillée par l’orbite de l’électron, à ce courant est associé un moment magnétique \(\overrightarrow{\mu}_l\) : \[\overrightarrow{\mu}_l~=~\overrightarrow{i}\wedge\overrightarrow{s}\]

3) Compte tenu de la relation du moment magnétique à celui du moment cinétique de l’électron (moment angulaire) : \[\overrightarrow{\mu}_l~=~-\frac{e}{2~m_e}~\overrightarrow{l}\]

4) \(\overrightarrow{p}\) étant le vecteur impulsion : \[\overrightarrow{l}~=~\overrightarrow{r}\wedge\overrightarrow{p}\]

5) D’où la relation à l’énergie potentielle dans un champ magnétique : \[E_{pot}~=~\overrightarrow{\mu}_l\cdot\overrightarrow{B}~=~\frac{e}{2~m_e}~\overrightarrow{l}\cdot\overrightarrow{B}\]

Formule laissant entrevoir la décomposition des raies spectrales.

6) Si l’on suppose que le champ magnétique pointe vers l’axe des \(z\), la quantification du moment cinétique (\(l_z=m_l~\hbar\)) permet d’obtenir la relation : \[E_{pot}~=~\frac{e~\hbar}{2~m_e}~m_l~B~=~\mu_B~m_l~B\qquad(\mu_B~:~\text{magnétron de Bohr})\]

Pour les niveaux d’énergie à l’intérieur de l’atome : \[E~=~E_{cin}~+~E_{coul}~+~\mu_B~m_l~B\]

On voit que la décomposition ne dépend que du nombre quantique.

2.2.3. Remarque

En astrophysique, la mesure de l’effet Zeeman permet de calculer l’intensité des champs magnétiques de notre galaxie.