1. Source immobile par rapport au milieu
Nous supposons que le piston de gauche (source) émet des vibrations qui sont entièrement absorbées par le piston de droite où est disposé un observateur. Nous désignons par \(y_S(t)\) le mouvement du piston source.
On fait l’hypothèse que l’observateur (situé du côté des \(x>0\) pour fixer les idées) s’éloigne de la source avec la vitesse \(v\). En tout point du fluide, l’état vibratoire est : \[y=y_s~(t-x/c)\]
L’état de vibration sur le piston mobile suivi par l’observateur sera obtenu en faisant le remplacement \((x)\rightarrow(x_0+v~t)\) dans la formule précédente, soit une vibration reçue par l’observateur : \[y=y_s~\Big(t-\frac{x_0+v~t}{c}\Big)\]
Supposons que la vibration du piston soit sinusoïdale et de la forme \(y_s=a~\cos\omega~t\). Nous obtenons alors sur le piston mobile : \[y=a~\cos\omega\Big[t~\Big(1-\frac{v}{c}\Big)-\frac{x_0}{c}\Big]=a~\cos\omega'~\Big(t-\frac{x_0}{c'}\Big)\]
Avec :\(\quad\omega'=\omega~(1-v/c)\quad;\quad c'=c-v\)
La vibration perçue par l’observateur qui s’éloigne de la source à une vitesse \(v\) a donc subi une modification de fréquence, la nouvelle fréquence étant liée à la fréquence émise par la source par la relation : \[\frac{v'}{v}=\frac{c-v}{c}\]
2. Observateur fixe par rapport au milieu
On fait l’hypothèse que la source s’éloigne de lui à la vitesse \(v\), c’est-à-dire se déplaçant dans le fluide à la vitesse \((-v)\), l’observateur étant toujours situé du côté des \(x>0\).
Soit \(x_s=-v~t\) l’abscisse du piston source (il faudrait dire en réalité que c’est l’abscisse au repos de la tranche de fluide qui se trouve à l’instant \(t\) au contact du piston source).
À un instant quelconque, l’état de vibration à l’abscisse \(x\) où se trouve le récepteur est celui de la source à un instant \(t'\) tel que : \[c~(t-t')=x-x_s\qquad\text{avec :}\quad x_s=-v~t'\]
Soit : \[t'~\Big(1+\frac{v}{c}\Big)=t-\frac{x}{c}\]
D’où la vibration reçue par l’observateur : \[y(x,~t)=y_s~\frac{c~t-x}{c+v}\]
Si la vibration du piston source est sinusoïdale de la forme \(y_s(t)=a~\cos\omega~t\), la vibration reçue par l’observateur est : \[y(x,~t)=a~\cos\omega~\frac{c~t-x}{c+v}=a~\cos\omega'~\Big(t-\frac{x}{c}\Big)\qquad\text{avec :}\quad \omega'=\frac{c}{c+v}~\omega\]
Là encore nous observons une variation de fréquence, la fréquence apparente au niveau de l’observateur étant \(v'\) telle que : \[\frac{v'}{v}=\frac{c}{c+v}\]
Discussions
Lorsque la vitesse d’éloignement est très petite devant \(c\), la deuxième formule peut s’écrire : \[\frac{v'}{v}~\cong~1-\frac{v}{c}\]
On retrouve alors la première formule.
La modification de fréquence ne dépend donc (tant que \(v \ll c\)) que de la vitesse (positive ou négative) d’éloignement de la source par rapport à l’observateur.
Mais il n’en est plus du tout de même lorsque \(v\) devient comparable à \(c\) ; en poussant à l’extrême, si \(v\) était égal à \(c\), alors \(\nu'\) serait nul dans le premier cas (l’observateur suivant une région de surpression constante lors de son déplacement) et égal à \(\nu/2\) dans le second cas.
Remarquons aussi que la célérité des ondes dans le premier cas est \((c–v)\) ce qui est intuitivement évident, l’observateur se déplaçant au sein du milieu à une vitesse \(v\) dans le sens de l’onde et qu’elle reste égale à \(c\) dans le second, l’observateur étant fixe par rapport au milieu.
Un simple déplacement du milieu par rapport à l’ensemble observateur - source fixes l’un par rapport à l’autre n’entraînerait aucune variation de fréquence. En effet, la pulsation en un point fixe par rapport au milieu serait, en désignant par \(v\) la vitesse commune de la source et de l’observateur par rapport au milieu : \[v'=v~\frac{c}{c+(-v)}\]
pour une onde se dirigeant vers l’observateur, c’est-à-dire vers les \(x>0\).
Cette pulsation devient pour l’observateur lui-même en mouvement à la vitesse \(v\) par rapport au milieu : \[v''=v'~\frac{c-v}{c}=v\]
3. Modification de fréquence dans la compression adiabatique d’une onde stationnaire
Nous reprenons l’expérience du chapitre précédent, au cours de laquelle nous avons mis en évidence l’invariant adiabatique \(\mathcal{E}_c/v\).
La remarque initiale suivant laquelle le nombre de nœuds doit rester constant pendant la compression adiabatique devient inutile, l’effet Doppler permettant d’interpréter complètement la modification de fréquence de l’onde au cours de la compression.
L’onde stationnaire résulte, en effet, d’une succession de réflexions sur les deux pistons terminaux d’une onde progressive se propageant tantôt vers la droite, tantôt vers la gauche. Or, l’onde qui se réfléchit sur un piston se déplaçant à la vitesse \(v\) semble provenir d(une source symétrique par rapport au piston, et qui se déplace donc par rapport au milieu à la vitesse \(2~v\).
Supposons, par exemple, fixe le piston de gauche, celui de la droite se déplaçant à la vitesse \(v\) par rapport au milieu ; à chacune de ses réflexions sur le piston de droite, l’onde (vue par un observateur fixe dans le fluide) subit un accroissement algébrique de fréquence \(dv\) donné par la relation : \[\frac{dv}{v}=-2~\frac{v}{c}\]
\(2~v\) est la vitesse d’éloignement de la source – image, très petite devant \(c\) dans la compression adiabatique.
Pendant le temps \(\delta t\) le nombre de réflexions sur le piston de droite est : \[n=\frac{\delta t}{2~l/c}=\frac{c~\delta t}{2~l}\]
D’où une variation globale de fréquence \(\delta v\) telle que : \[\frac{\delta v}{v}=n~\Big(-\frac{2~v}{c}\Big)=-\frac{v~\delta t}{l}\]
pendant un temps \(\delta t\) au cours duquel la longueur de la colonne de fluide s’est accrue algébriquement de \(\delta l=v~\delta t\).
On a bien : \[\frac{\delta v}{v}=-\frac{\delta l}{l}\]
en vertu de l’effet Doppler.
C’est le résultat que des considérations sur l’impossibilité d’obtenir un effet macroscopique (modification du nombre de nœuds) par une modification de longueur infinitésimale nous avaient permis d’obtenir.
