VII. Dynamique relativiste

Le vecteur impulsion et la formule fondamentale de la dynamique relativiste. L’interprétation physique de la quatrième dimension.

1. Vecteur impulsion relativiste

On rappelle l’expression des composantes du vecteur vitesse : \[\lambda^0=\frac{1}{\alpha}\quad;\quad\lambda^i=\frac{1}{\alpha~c}v^i~~,\quad i=1,~2,~3\]

On désigne par \(m_0\) la masse au repos de la particule (donc dans son repère propre).

Le vecteur impulsion est défini par :

\[\begin{aligned} P^{\alpha}&=m_0~c~\lambda^{\alpha}~~,\quad\alpha=0,~1,~2,~3~~\text{(4 dimensions)} \\ P^i&=m~v^i\quad\text{avec :}~~m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ P^0&=m_0~c~\lambda^0=\frac{m_0~c}{\alpha}=m~c=\frac{m~c^2}{c}\quad\text{(énergie/c) ou (eV/c)} \\ {(P)}^2&=P_{\alpha}~P^{\beta}=(P^0)^2-\sum_{i=1}^{i=3}(P^i)^2=m^2~c^2-m^2~v^2=m^2~c^2~\alpha^2=m_0^2~c^2 \\ {(P)}^2 &= m_0~c~\lambda^\alpha~.~m_0~c~\lambda_\alpha = m_0^2~c^2~\lambda^\alpha~\lambda_\alpha = m_0^2~c^2\end{aligned}\]

En résumé : \[P^0=m~c\quad;\quad P^i=m~v^i\quad;\quad(P)^2=m_0^2~c^2\quad\text{avec :}~~m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\beta^2}}\]

2. Formule fondamentale de la dynamique

Considérons un quadrivecteur \(\overrightarrow{F}\).

En mécanique classique : \[\overrightarrow{F}=\frac{d}{dt}(m~\overrightarrow{v})=\frac{\overrightarrow{dP}}{dt}\qquad\text{(3 équations)}\]

En relativité restreinte : \[\overrightarrow{F}=\frac{\overrightarrow{dP}}{d\tau}\qquad\text{(4 équations)}\]

Pour des vitesses faibles, trois équations sur quatre redonnent les résultats de la mécanique classique (en faisant \(c \rightarrow \infty\)) :

\[F^i=\frac{dP^i}{d\tau}=\frac{d}{d\tau}(m_0~c~\lambda^i)=m_0~c~\frac{d\lambda^i}{d\tau}=m_0~c~\frac{d}{d\tau}\Big(\frac{v^i}{\alpha~c}\Big)\]

\(\tau\) est le temps propre : \[F^i=m_0~c~\frac{d}{dt}\Big(\frac{v^i}{\alpha~c}\Big)~\frac{dt}{d\tau}\]

Or, on sait que : \[\frac{dt}{d\tau}=\frac{1}{\alpha}\]

Le calcul peut être refait brièvement d’une autre manière : \[ds^2=c^2~t^2-dx^2-dy^2-dz^2=(c^2-v^2)~dt^2=c^2~\alpha^2~dt^2=c^2~d\tau^2\]

On a donc : \[F^i=\frac{m_0~c}{\alpha}~\frac{d}{dt}\Big(\frac{v^i}{\alpha~c}\Big) \quad\text{ou }\quad \alpha~\overrightarrow{F^i}=\frac{d}{dt}\Big(\frac{m_0~v^i}{\alpha}\Big)\]

Faisant \(\alpha \thickapprox 1\), on retrouve les résultats de la mécanique classique.

Remarque : \(m_0\) est la masse de la particule dans son repère propre ; c’est encore la masse au repos. Par contre, pour le repère \(Oxyz\) par rapport auquel cette particule se déplace, on devra prendre \(m=m_0/\alpha\). La masse a donc perdu son caractère absolu.

3. Interprétation physique de la quatrième dimension

Reprenons l’expression de la force :

\[\begin{aligned} F^0&=\frac{dP^0}{d\tau}=\frac{d}{d\tau}\Big(\frac{m_0~c}{\alpha}\Big)= \frac{d}{dt}\Big(\frac{m_0~c}{\alpha}\Big)~\frac{dt}{d\tau}= \frac{m_0~c}{\alpha}.\frac{d}{dt}\Big(\frac{1}{\alpha}\Big) \\ F^{\alpha}&=\frac{dP^{\alpha}}{d\tau}=m_0~c~\frac{d\lambda^{\alpha}}{d\tau}=m_0~c~\Gamma^{\alpha}\end{aligned}\]

\(\lambda^{\alpha}\) étant un vecteur temporel et \(F^{\alpha}\) étant un vecteur spatial : \[\lambda^{\alpha}~\Gamma_{\alpha}=0\quad\Rightarrow\quad\lambda_{\alpha}~F^{\alpha}=0\]

En exploitant cette propriété : \[F^0~\lambda_0 + F^1~\lambda_1 + F^2~\lambda_2 + F^3~\lambda_3=0\quad\text{ou}\quad F^0~\lambda^0 = F^1~\lambda^1 + F^2~\lambda^2 + F^3~\lambda^3\]

\[\frac{m_0~c}{\alpha}~\frac{d}{dt}\Big(\frac{1}{\alpha}\Big)= \sum_{i=1}^{i=3}F^i~\lambda^i=\sum_{i=1}^{i=3}F^i~\frac{v^i}{\alpha c}\qquad\text{soit :}\quad \frac{d}{dt}\Big(\frac{m_0~c^2}{\alpha}\Big)=\sum_{i=1}^{i=3}F^i~v^i=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{V}\]

On a donc : \[d(m~c^2)=(\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{V})~dt=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{ds}=dW\]

C’est le travail de la force appliquée.

Si l’on suppose que les forces dérivent d’un potentiel \(\Phi\), c’est-à-dire \(dW=-d\Phi\) : \[d(m~c^2)+d\Phi=0\quad\Rightarrow\quad m~c^2+\Phi=cte=E\]

\(E\) est l’énergie cinétique relativiste de la particule pour l’observateur. Elle exprime le théorème de conservation de l’énergie en relativité générale. Elle est liée au repère galiléen de l’observateur : \[E=\frac{m_0}{\sqrt{1-\beta^2}}~c^2+\Phi\]

qui peut s’écrire : \[E=m_0~c^2~(1-\beta^2)^{-1/2}+\Phi\]

En introduisant un développement limité : \[E\thickapprox m_0~c^2+\frac{m_0~v^2}{2}+\dots+ \Phi\]

Aux vitesses faibles, les deux derniers termes représentent respectivement une énergie cinétique et une énergie potentielle. On ne retrouve donc pas le théorème de l’énergie cinétique (présence du terme \(m_0~c^2\)).

En mécanique classique, une particule au repos (pas d’énergie potentielle) n’a pas d’énergie. Par contre, en mécanique relativiste, elle possède une énergie \(E=m_0~c^2\). Il y a donc équivalence entre la masse et l’énergie ; celle-ci peut se matérialiser.

Équivalence d’énergie de 1 kg d’eau = \(1\times(3\times10^8)^2=9\times 10^{16}~\rm J\thickapprox\) 30 milliards de kW\(\cdot\)h.

4. Impulsion d’une particule

On peut écrire : \[E=E_{masse}+\Phi_{potentiel}\]

Pour l’impulsion spatiale : \[P^i=\frac{m_0~v^i}{\alpha}=m~v^i\]

Pour l’impulsion temporelle :

\[\begin{aligned} P^0&=\frac{m_0~c}{\alpha}=m~c=\frac{m~c^2}{c}=\frac{E}{c} \\ {(P)}^2&=m_0^2~c^2=(P^0)^2-\sum_{i=1}^{i=3}(P^i)^2=\frac{E^2}{c^2}-\sum_{i=1}^{i=3}(P^i)^2\end{aligned}\]

D’où l’on tire : \[E^2=m_0^2~c^4+c^2~\sum_{i=1}^{i=3}(P^i)^2\]

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