1. Lois de composition

1.1. Définitions

On appelle loi de composition entre éléments d’un ensemble \(E\) le procédé qui, à deux éléments \(x\) et \(y\) de cet ensemble fait correspondre un élément \(z\) de cet ensemble : \[\{x\in E~~\text{et}~~y\in E\}~~~\rightarrow~~~z\in E\]

On dit que \(z\) est le composé de \(x\) et \(y\).

Deux symboles sont généralement utilisables : \[z=x~\top~y\quad;\quad z=x~\bot~y\]

Trois exemples élémentaires : \[z=x+y\quad;\quad z=x\times y\quad;\quad z=x\]

1.2. Associativité

Une loi de composition est dite associative si l’on peut écrire : \[(x~\top~y)~\top~z=x~\top~(y~\top~z)\]

C’est le cas de la multiplication, de l’addition et des déplacements (translation, rotation...)

Par contre, l’exponentielle n’est pas associative : \[(x^y)^z~\neq~x^{(y^z)}\]

1.3. Commutativité

Il y a commutativité quand on peut écrire : \[x~\top~y=y~\top~x\]

1.4. Élément neutre (ou unité)

Un élément noté \(e\) est élément neutre (ou unité) pour une loi de composition donnée d’un ensemble \(E\) si : \[\forall x\in E\quad\text{on a~:}\quad e~\top~x=x~\top~e=x\]

1.4.1. Unicité

L’élément neutre est unique.

Supposons que \(\exists~e'\neq e\), on peut alors écrire : \[e'=e~\top~e'=e'~\top~e=e\]

1.4.2. Exemples simples

• Ensemble des entiers positifs muni de l’addition : \[x~+~0=0~+~x=x~~~~~~\text{élément neutre}~0\]

• Ensemble des entiers positifs (sans zéro) muni de l’addition : l’élément neutre n’existe pas.

• Ensemble des entiers positifs muni de la multiplication : \[x~\times~1=1~\times~x=x~~~~~~\text{élément neutre}~1\]

1.5. Inverse d’un élément

Soit une loi de composition admettant un élément neutre (unité).

\(x'\in E\) est appelé inverse de \(x\in E\) si : \[x~\top~x'=x'~\top~x=e\qquad\text{et on écrit}~~~~~~x'=x^{-1}\]

La notion n’a d’intérêt que s’il y a associativité.

Propriétés

a) L’élément unité est son propre inverse : \[e~\top~e=e\]

b) Tout \(x\in E\) admet un inverse et il en admet un seul.

Imaginons l’existence d’un deuxième inverse \(x''\) : \[x''=x''~\top~e=x''~\top(~x\top~x')=(x''~\top~x)~\top~x'=e~\top~x'=x'\]

c) Si \(x^{-1}\) et \(y^{-1}\) existent, l’inverse de (\(x~\top~y\)) est (\(y^{-1}~\top~x^{-1}\)).

On peut écrire, en décomposant (associativité) : \[(x~\top~y)~\top~(y^{-1}~\top~x^{-1})=x~\top~(y~\top~y^{-1})~\top~x^{-1}=x~\top~(e~\top~x^{-1})=x~\top~x^{-1}=e\]

d) Si \(x~\top~y=x~\top~z\), on peut avoir \(z\neq y\), sauf si \(x^{-1}\) existe.

En effet, multipliant par \(x^{-1}\) à gauche : \[(x^{-1}~\top~x)~\top~y=(x^{-1}~\top~x)~\top~z~~~\Rightarrow~~~e~\top~y=e~\top~z~~~\Rightarrow~~~y=z\]

Un exemple classique : \[0\times y=0\times z\quad\text{et}\quad y\neq z\]

1.6. Homomorphisme et isomorphisme

Soient deux ensembles \(E\) et \(F\). On définit sur \(E\) une loi de composition \(\top\) et sur \(F\) une autre loi \(\bot\). On définit de plus une application de \(E\) sur \(F\) notée \(f\).

L’application \(f\) est un homomorphisme si : \[f(x_1~\top~x_2)=f(x_1)~\bot~f(x_2)\qquad\text{quels que soient}~\{x_1,~x_2\}\]

Si \(f\) est biunivoque de \(E\) sur \(F\), on dira qu’il y a isomorphisme.

1.6.1. Théorème

S’il existe un homomorphisme de \(E\) sur \(F\) et si la loi de composition définie sur \(E\) est associative ou commutative, il en est de même pour la loi de composition définie sur \(F\).

Prenons \(x\in~E\) et \(y\in~E\) avec l’hypothèse de commutativité :

\[\begin{aligned} x~\top~y&=y~\top~x\\ f(x~\top~y)&=f(y~\top~x)\\ f(x)~\bot~f(y)&=f(y)~\bot~f(x)\end{aligned}\]

1.6.2. Exemple d’homomorphisme

• \(E\) : ensemble des vecteurs libres de \(E_3\)

• \(F\) : ensemble des vecteurs libres d’un plan particulier

• \(f\) : projection orthogonale sur le plan horizontal de \(E\) sur \(F\)

• Lois de composition définies sur \(E\) et \(F\) : addition vectorielle : \[proj(\overrightarrow{V_1}+\overrightarrow{V_2})=proj(\overrightarrow{V_1})+proj(\overrightarrow{V_2})\]

Mais il n’y a pas d’isomorphisme.

1.6.3. Exemple d’isomorphisme

• \(E\) : ensemble des réels, loi de composition = addition

• \(F\) : ensemble des réels positifs, loi de composition = multiplication

• \(f\) : exponentiation : \[y=e^x\quad\Leftrightarrow\quad x=\ln(y)\qquad\text{(biunivocité)}\]

On a : \[\{x\in~E~,~y\in~F\}~:\quad y_1~y_2=\exp(x_1+x_2)\quad\Leftrightarrow\quad x_1+x_2=\ln(y_1~y_2)\]

Il y a isomorphisme.

2. Relations d’équivalence

2.1. Relation binaire

2.1.1. Définitions et propriétés

Soit un ensemble \(E\) et un couple ordonné de deux de ses éléments quelconques (\(a,~b\)), distincts ou non.

Si (\(a,~b\)) a une propriété, à l’exclusion des autres, on dit que l’on a défini une relation binaire, notée \(a~\mathcal{R}~b\).

Deux exemples élémentaires : \(a=b\)   et   \(a<b\).

Ces relations binaires peuvent avoir les trois propriétés suivantes :

• Réflexivité : \(\exists~a~\mathcal{R}~a~\) tel que \(\forall~a\in E,~~a~\mathcal{R}~a=a\).

• Symétrie : \(\quad a~\mathcal{R}~b~~\text{existant}\quad\Rightarrow\quad b~\mathcal{R}~a~~\text{existe}\).

• Transitivité : \(\forall~a~\mathcal{R}~b~~\text{et}~~\forall~b~\mathcal{R}~c\), il résulte que \(\exists~~a~\mathcal{R}~c\).

2.1.2. Exemples

1) \(E\) : {genre humain}

• \(\mathcal{R}\) : {fils de}    

• \(\mathcal{R}\) : {\(a\) descendant de \(b\)}

• \(\mathcal{R}\) : {\(a\) frère de \(b\)}   

2) \(E\) : {droites de l’espace réel}

• \(\mathcal{R}\) : {orthogonalité}

• \(\mathcal{R}\) : {parallélisme}  

2.2. Relation d’équivalence

Une relation binaire R, S, T (réflexive, symétrique, transitive) est dite relation d’équivalence.

Par exemple : parallélisme, égalité (a=b), triangles semblables.

On dit que l’on a défini sur \(E\) une congruence (ou équivalence) : \[a~\equiv~b\quad~(\text{modulo}~\mathcal{R})\]

2.3. Classe d’équivalence

2.3.1. Définition

Soit un ensemble \(E\) sur lequel on a défini une relation d’équivalence. \(\forall~a\in~E\), on appelle classe d’équivalence de \(a\) tous les éléments équivalents à \(a\).

2.3.2. Lemme 1

Si \(a_1\equiv~a\) et \(a_2\equiv~a\), alors \(a_1\equiv~a_2\).

Justification : \[\begin{aligned} &a_1~\mathcal{R}~a\qquad\exists~a_1~\mathcal{R}~a\qquad\text{et}\qquad a~\mathcal{R}~a_1\\ &a_2~\mathcal{R}~a\qquad\exists~a_2~\mathcal{R}~a\qquad\text{et}\qquad a~\mathcal{R}~a_2\\ &a_2~\mathcal{R}~a\qquad\text{et}\quad a~\mathcal{R}~a_1\quad\Rightarrow\quad ~a_2~\mathcal{R}~a_1 \end{aligned}\]

Ainsi, deux éléments équivalents à un même troisième sont équivalents entre eux.

2.3.3. Lemme 2

Deux classes d’équivalence ayant un élément commun sont identiques : \[a_1~\equiv~a\quad\text{et}\quad a_2~\equiv~a\qquad\Rightarrow\qquad a_2~\equiv~a_1\]

Ceci pour tous les couples.

2.3.4. Théorème

Sur un ensemble \(E\), toute relation d’équivalence détermine des parties disjointes de \(E\), ces parties disjointes constituant des classes d’équivalence.

Conséquence :

L’ensemble des classes d’équivalence déterminées sur \(E\) par \(\mathcal{R}\) constitue l’ensemble quotient de \(E\) par \(\mathcal{R}\).

2.3.5. Exemples

1) Exemple 1

• \(E\) est l’ensemble des points d’un plan repérés par rapport à \(Ox,~Oy\).

• Soient \(M\) et \(M'\) deux points de même abscisse.

• On définit la relation d’équivalence : les deux points ont la même abscisse.

  La relation binaire est une relation d’équivalence.

  Classe de \(M\) : ensemble des parallèles à \(Oy\) menées par \(M\).

  Ensemble des parallèles à \(Oy\) = ensemble des classes d’équivalence.

2) Exemple 2

• \(E\) est l’ensemble des vecteurs liés.

• On définit la relation d’équivalence : l’équipollence.

  Classe d’équivalence d’un vecteur : ensemble des vecteurs équipollents à ce vecteur.

  Cet ensemble est un vecteur libre.

  L’ensemble quotient est l’ensemble des vecteurs libres.