La transformation dite mono-latérale (intégration de 0 à + l’infini) de Pierre Simon de Laplace (1749-1827) a conduit au calcul opérationnel, utile dans l’étude des asservissements et des circuits de l’électronique.

Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) est bien sûr connu pour ses fameuses séries. On lui doit la transformation intégrale dite de Fourier (intégration de – à + l’infini) dont les champs d’application privilégiés sont la théorie et le traitement du signal.

Laplace a été le professeur de Fourier à l’École normale de l’an III (1795), nouvellement créée et ancêtre de l’École normale supérieure, rue d’Ulm.

1. Transformation monolatérale de Laplace

1.1. Définition

La transformation monolatérale de Laplace s’applique particulièrement à toute fonction \(f(t)\) nulle pour \(t<0\).

C’est une fonction \(F(p)\) de la variable complexe \(p=\sigma + j\omega\) : \[f(t)\quad \rightarrow \quad F(p)~= \int_0^{+\infty}e^{-p~t}~f(t)~dt\]

\(f(t)\) est l’original, \(F(p)\) en est l’image.

1.2. Propriétés

1.2.1. Linéarité

\[f(t)=f_1(t)+f_2(t)\quad \rightarrow \quad F(p)=F_1(p)+F_2(p)\]

1.2.2. Dérivation et Intégration

\[f'(t)\quad \rightarrow \quad F'(p)=p~F(p)\]

Le calcul rigoureux (dérivation sous le signe \(\int\) conduit à : \[F'(p)~=~p~F(p)+f(0)\]

En pratique,les fonctions que nous considérons n’apparaissent qu’à l’instant \(t\) et sont supposées nulles pour \(t<0\) avec \(f(0)=0\) : \[f'(t)\quad \rightarrow \quad F'(p)=p~F(p)\]

Inversement, une intégration équivaut à une multiplication par \(1/p\) de l’image.

En effectuant une deuxième dérivation : \[F''(p) = p~F'(p)-f'(0)\]

Et comme \(f'(0)=0\), suivant l’hypothèse précédente : \[F''(p)=p^2~F(p)\]

1.2.3. Théorème des valeurs initiale et finale

Théorème de la valeur initiale : \[f(0) = \lim_{p~\to~\infty}\{p~F(p)\}\]

Théorème de la valeur finale : \[f(+\infty) = \lim_{p~\to~0}\{p~F(p)\}\]

1.3. Détermination de l’original

La fonction image se présente généralement comme le quotient de deux polynômes, le degré du dénominateur étant supérieur à celui du numérateur.

1.3.1. Racines simples au dénominateur

\[F(p)~=~\frac{N(p)}{(p-p_1)~(p-p_2)\cdots(p-p_n)}\]

On a alors : \[\begin{aligned} F(p)~&=~\sum_{j=1}^n~\frac{C_j}{p-p_j}\\ C_j~&=~\lim_{p~\to~p_j}\frac{N(p)~(p-p_j)}{D(p)}\end{aligned}\]

Et par suite : \[f(t)~=~\sum_{j=1}^n~C_j~e^{p_j~t}\]

1.3.2. Racines multiples au dénominateur

Supposons que l’un de ces types de facteurs soit de la forme \((p-p_q)^m\), donc d’ordre \(m\). Le développement se présentera alors sous la forme : \[F(p)~=~\frac{C_m}{(p-p_q)^m}~+~\frac{C_{m-1}}{(p-p_q)^{m-1}}~+~\cdots ~+~\frac{C_1}{(p-p_1)}~+~\cdots\]

1.4. Table des transformées de Laplace usuelles

\[\begin{aligned} &f(t) && F(p)\\ &- && -\\ &A && \frac{A}{p}\\ &\delta(t) && 1\\ &e^{-\omega t} && \frac{1}{(p+\omega)}\\ &t~e^{-\omega t} && \frac{1}{(p+\omega)^2}\\ &\frac{\omega}{p^2+\omega^2} && \sin \omega t\\ &\frac{\omega}{p^2-\omega^2} && \sinh \omega t\\ &\frac{p}{p^2+\omega^2} && \cos \omega t\\ &\frac{p}{p^2-\omega^2} && \cosh \omega t\\ &\frac{\omega}{(p+a)^2+\omega^2} && e^{-at}\sin\omega t\\ &\frac{\omega}{(p+a)^2-\omega^2} && e^{-at}\sinh\omega t\\ &\frac{p+a}{(p+a)^2+\omega^2} && e^{-at}\cos\omega t\\ &\frac{p+a}{(p+a)^2-\omega^2} && e^{-at}\cosh\omega t\\ &\sin(\omega t+b) && \frac{\omega \cos b+p \sin b}{p^2+a^2}\\ &\cos(\omega t+b) && \frac{\omega \cos b-p \sin b}{p^2+a^2}\\ &\sin^2\omega t && \frac{2~\omega^2}{p~(p^2+4~\omega^2)}\\ &\cos^2\omega t && \frac{p^2+2~\omega^2}{p~(p^2+4~\omega^2)}\\ &t^n~e^{-\lambda t} && \frac{n~!}{(p+\lambda)^n}\\ &t^n && \frac{n~!}{p^{n+1}}\end{aligned}\]

2. Transformation de Fourier

2.1. Définition

La transformation de Fourier est la transformation (spectrale) temps – fréquence qui associe à une fonction \(x(t)\) une fonction \(X(f)\) : \[x(t) \quad \rightarrow \quad X(f)~=~\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)~e^{-j2\pi ft}~dt\]

2.2. Propriétés

2.2.1. Inversion

\[x(t)~=~\int_{-\infty}^{+\infty} X(f)~e^{+j2\pi ft}~df\]

2.2.2. Translation : avance et retard

\[x(t\pm t_0) \quad \rightarrow \quad X(f)~e^{\mp j2\pi f t_0}\]

2.2.3. Homothétie et translation

\[x(at+b) \quad \rightarrow \quad \frac{1}{|a|}~e^{j2\pi f~b/a}~X\left(\frac{f}{a}\right)\]

En particulier (\(a=-1\) et \(b=0\)) : \[x(-t) \quad \rightarrow \quad X(-f)\]

2.2.4. Dérivation

\[\begin{aligned} \frac{d}{dt}~x(t)\quad&\rightarrow\quad j2\pi~f X(f)\\ x^{(n)}(t)\quad&\rightarrow\quad(j2 \pi f)^n~X(f)\\ (-j2 \pi t)^n\quad&\rightarrow\quad X^{(n)}(f)\end{aligned}\]

2.2.5. Convolution

\[\begin{aligned} &x(t)\star y(t) \quad \rightarrow \quad X(f)~~Y(f)\\ &x(t)~~y(t)\quad \rightarrow \quad X(f)\star Y(f)\end{aligned}\]

Voir l’article : Produit de convolution en théorie des distributions

2.2.6. Dualité

\[x(t)~~\rightarrow~~ Y(f) \qquad ; \qquad Y(t)~~\rightarrow ~~x(-f)\]

2.2.7. Théorème de Parseval

\[\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)~~\overline{y(t)}~~dt~=~\int_{-\infty}^{+\infty} X(f)~~\overline{Y(f)}~~df\]

\(\overline{y(t)}\) étant la fonction conjuguée de \(y(t)\).

Dans le cas d’un signal réel \(x(t)\) : \[\int_{-\infty}^{+\infty}x^2(t)~dt~=~\int_{-\infty}^{+\infty} |X(f)|^2~df\]

2.3. Table des transformées usuelles

\[\begin{aligned} &x(t)&&X(f)\\ &- && -\\ &1 && \delta(f)\\ &\delta(t) && 1\\ &|t| && \frac{1}{2 \pi^2 f^2}\\ &\delta(t\pm t_0) && e^{\mp j2\pi ft}\\ &e^{\pm j 2\pi f_0 t} && \delta(f\mp f_0)\\ &\sin(2\pi f_0t) && \frac{1}{2}~\{\delta(f-f_0)-\delta(f+f_0)\} \\ &\cos(2\pi f_0t) && \frac{1}{2}~\{\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\} \\ &\sum_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-nT) && \frac{1}{T} \sum_{-\infty}^{+\infty} \delta(f-\frac{n}{T})\\ &\sum_{-\infty}^{+\infty} c_n ~\delta(t-nT) && \sum_{-\infty}^{+\infty} c_n~e^{-j2\pi ~nft}\\ &E(t) && \frac{1}{j2\pi f} ~+~\frac{1}{2}\delta(f)\\ &\Pi_{\pm T/2} && T~\frac{\sin \pi ft }{\pi ft}\\ &\Lambda_{\pm T} && T\left(\frac{\sin \pi ft }{\pi ft}\right)^2\\ &E(t)~e^{-t} && \frac{1}{1+j 2\pi f}\\ &e^{-\pi t^2} && e^{-\pi f^2}\\ &e^{-a|t|} && \frac{2a}{a^2+4\pi^2f^2}\end{aligned}\]

Avec les symboles :

• \(\delta(t)\) : fonction de Dirac

• \(E(t)\) : fonction échelon de Heaviside

• \(\Pi_{\pm T/2}\) : fonction porte de largeur \(T\) centrée à l’origine

• \(\Lambda_{\pm T}\) : fonction triangle de largeur \(2T\) centrée à l’origine

3. Coefficients des séries de Fourier

3.1. Forme réelle

La fonction (périodique) à décomposer : \[f(x)~=~a_0~+~\sum_{n=1}^{n=\infty} a_n\cos n\omega x~+~\sum_{n=1}^{n=\infty} b_n\sin n\omega x\]

Les expressions des coefficients (réels) : \[\begin{aligned} &a_0~=~\frac{1}{T} ~\int_0^Tf(t)~dt\\ &a_n~=~\frac{2}{T}~\int_0^T~f(t)\cos n\omega t~dt\\ &b_n~=~\frac{2}{T}~\int_0^T~f(t)\sin n\omega t~dt\end{aligned}\]

3.2. Forme complexe

La fonction (périodique) à décomposer : \[f(x)~=~\sum_{n=-\infty}^{n=+\infty} c_n~e^{jn\omega x}\]

Les expressions des coefficients (complexes) : \[c_n~=~\frac{a_n+jb_n}{2}~=~\frac{1}{T}\int_0^T f(t)~e^{-jn\omega t}~dt\]