1. Oscillateur harmonique classique

Revenons tout d’abord à la mécanique classique. Le premier exemple de l’oscillateur harmonique qui nous est enseigné est celui du mouvement d’une masse \(m\) suspendue à un ressort de raideur \(k\) et écartée d’une longueur \(x\) par rapport à sa position d’équilibre.

On sait qu’elle est soumise à une force de rappel : \[f=-k~x\]

force qui dérive d’un potentiel dit parabolique : \[V=\int_0^x k~x~dx=\frac{1}{2}~k~x^2\]

L’équation de la dynamique s’écrit sous la forme générale (\(E\) énergie totale) : \[\frac{1}{2}~m~v^2+\frac{1}{2}~k~x^2=E\]

Dont la solution est de la forme : \[x=x_0~\cos\omega~t\]

Avec : \[\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\quad;\quad x_0=\sqrt{\frac{2~E}{k}}\]

L’amplitude peut varier, la particule (autrement dit la masse suspendue au ressort) oscillant entre \(-x_0\) et \(+x_0\) avec la fréquence constante : \[\nu=\frac{1}{2\pi}~\sqrt{\frac{k}{m}}\]

2. Mouvement élémentaire en mécanique quantique

2.1. Forme générale

Nous admettons que l’onde associée à une particule est une onde stationnaire : \[\Psi=\Psi_0(x)~\sin\omega~t\]

dont la pulsation est liée à l’énergie par : \[E=\hbar~\omega\]

et dont le carré de l’amplitude représente la probabilité de présence : \[dP=|\Psi(x)|^2~dx\]

\(dP\) étant la probabilité de trouver la particule dans le segment \(dx\).

Cette fonction \(\Psi\) est solution de l’équation de Schrödinger qui s’écrit (hypothèses d’une dimension et d’un potentiel parabolique) : \[\frac{d^2\Psi}{dx^2}+\frac{2~m}{\hbar^2}~(E-\frac{1}{2}~k~x^2)~\Psi=0\qquad[1]\]

Cette solution doit nécessairement conduire à (normalisation) : \[\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi(x)|^2~dx=1\qquad[2]\]

On cherche alors une solution de la forme : \[\Psi(x)=y(x)~\exp(-\alpha~x^2)\qquad[3]\]

\(\alpha\) est une constante arbitraire que nous saurons habilement choisir.

2.2. Restriction apportée à la constante \(\alpha\)

En revenant à l’équation avec le calcul des dérivées première et seconde de \(\Psi\), il vient, tous calculs faits : \[y''-4~\alpha~x~y'+\Big(4~\alpha^2~x^2-2~\alpha+\frac{2~m~E}{\hbar^2}-\frac{m~k}{\hbar^2}~x^2\Big)~y=0\qquad[4]\]

\(\alpha\) étant arbitraire, il pourra être choisi de façon à ce que le terme en \(x^2\) soit éliminé dans la partie entre crochets.

Ceci réduit l’équation à :

\[\begin{aligned} &y''-4~\alpha~x~y'+\Big(\frac{2~m~E}{\hbar^2}-2~\alpha\Big)~y=0\qquad\qquad[5]\\ &\text{en ayant choisi}~:\quad\alpha=\sqrt{\frac{m~k}{4~\hbar^2}}\end{aligned}\]

3. Recherche d’une forme de solution

3.1. Forme série

Une première solution consiste à introduire une série décomposée en une somme de deux séries à termes pairs dont les premiers coefficients sont arbitraires : \[y=a_0+a_1~x+a_2~x^2+\dots\qquad[6]\]

Présentée sous la forme : \[y=[a_0+a_2~x^2+\dots+a_{2p}~x^{2p}+\dots]+~x~[a_1+a_3~x^2+\dots+a_{2p+1}~x^{2p+1}+\dots]\qquad[7]\]

Dont le terme général \(x^n\) a pour expression : \[...+\Big\{(n+1)~(n+2)~a_{n+2}-4~\alpha~n~a_n+\Big(\frac{2~m~E}{\hbar^2}-2~\alpha\Big)~a_n\Big\}~x^n+\dots\qquad[8]\]

La solution sous forme de série n’est pas intéressante et, de plus, ne peut satisfaire aux conditions physiques. Le problème est contourné si la série devient un polynôme, donc si les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang.

3.2. Forme polynôme

D’après la relation précédente [8], on doit avoir : \[a_{n+2}=a_n~\frac{4~\alpha~n+2~\alpha-2~\cfrac{m~E}{\hbar^2}}{(n+1)~(n+2)}\qquad[9]\]

Il faut arrêter la série au terme de degré \(n\).

Si on fait \(a_{n+2}=0\), il faut aussi que \(a_n\neq 0\). On doit donc avoir : \[4~\alpha~n+2~\alpha-2~\cfrac{m~E}{\hbar^2}=0\qquad[10]\]

et l’énergie doit être égale à : \[E=(n+\frac{1}{2})~\hbar~\sqrt{\frac{k}{m}}=(n+\frac{1}{2})~\hbar~\omega\qquad[11]\]

L’énergie est donc bien quantifiée, seules certaines valeurs étant permises.

Faisant abstraction des détails de calculs, de proche en proche, on parvient à expliciter l’équation qui permettra de calculer la fonction \(y\), lorsqu’elle se réduit à un polynôme.

On introduit à cet effet le nombre \(N\) qui fixe l’énergie. Il vient : \[y''-4~\alpha~x~y'+4~\alpha~N~y=0\qquad[12]\]

Introduisons à présent les coordonnées réduites : \[X=\sqrt{2~\alpha~x}=\sqrt[4]{\frac{m~k}{\hbar^2}}~x\qquad[13]\]

On a alors : \[\frac{d^2y}{dX^2}-2~X~\frac{dy}{dX}+N~y=0\qquad[14]\]

La fonction d’onde est alors connue. Il s’agit d’une onde stationnaire dont \(\Psi\) représente l’amplitude : \[\Psi=P_N(x)~\exp\Big(-\frac{X^2}{2}\Big)~\sin\frac{E}{\hbar}~t\qquad[15]\]

\(P_N\) est le polynôme d’Hermite d’ordre \(N\) pour lequel (normalisation) : \[\int_{-\infty}^{+\inf}P_n^2(X)~\exp(-X^2)~dx=1\]

Ces polynômes sont obtenus par :

\[\begin{aligned} &N=0\qquad P_N(X)=a_0\\ &N=1\qquad P_N(X)=a_1~X\\ &N=2\qquad P_N(X)=a_2~(2~X^2-1)\\ &N=3\qquad P_N(X)=a_3~(2~X^3-3~X)\qquad\qquad\qquad[16]\\ &N=4\qquad P_N(X)=a_4~(4~X^4-12~X^2+3)\\ &N=5\qquad P_N(X)=a_5~(4~X^5-20~X^3+15~X)\end{aligned}\]

On démontre que :

\[\begin{aligned} &a_n=2^{i/2}~(2^n~n!)^{-1/2}~\Big(\frac{\sqrt{k~m}}{\hbar~\pi}\Big)^{1/4}\qquad[17]\\ &i=n\qquad\text{si}~~n~\text{pair}\\ &i=n-1\quad\text{si}~~n~\text{impair}\end{aligned}\]

4. Particule sans repos

Plaçons-nous pour commencer dans le cas de la mécanique classique. Si la particule possède une énergie \(E_0\), sa vitesse maximale est \(v_0\) telle que : \[\frac{1}{2}m~v_0^2=E_0\quad\Rightarrow\quad v_0=\sqrt{\frac{2~E_0}{m}}\qquad[18]\]

La particule atteint cette vitesse lorsqu’elle passe au point d’abscisse \(x=0\). Son énergie potentielle est alors nulle. De même, l’élongation sera maximum \(x_0\) telle que : \[\frac{1}{2}~k~x_0^2=E_0\quad\Rightarrow\quad x_0=\sqrt{\frac{2~E_0}{k}}\qquad[19]\]

Plaçons-nous maintenant dans le cas de la mécanique quantique, c’est-à-dire en tenant compte du principe d’incertitude de Heisenberg. Nous dirons que la particule se situe quelque part entre \((-x_0)\) et \((+x_0)\). Autrement dit, il y a une incertitude de l’ordre de \(x_0\) sur sa position.

Nous dirons de même que sa vitesse varie entre \((-v_0)\) et \((+v_0)\). Autrement dit il y a une incertitude de l’ordre de \(m~v_0\) sur son impulsion.

Appliquons à présent le principe d’incertitude : \[\Delta p~\Delta q=m~v_0~x_0~\geq~\hbar\qquad[20]\]

On obtient alors : \[E_0\geq\frac{\hbar}{4\pi}~\sqrt{\frac{k}{m}}\qquad[21]\]

Ainsi et comme conséquence immédiate de ce principe, il est impossible à l’oscillateur harmonique de la mécanique quantique de se trouver au repos.

5. En forme de synthèse

5.1. Particule sans champ extérieur

Les états dans lesquels l’énergie a des valeurs déterminées sont dits états stationnaires. Ils sont décrits par les fonctions d’onde \(\Psi_n\) qui sont fonctions propres de l’oscillateur d’Hamilton, c’est-à-dire qu’ils satisfont à une équation de la forme : \[\hat{H}~\Psi_n=E_n~\Psi_n\qquad[22]\]

les \(E_n\) étant les valeurs propres de l’énergie.

De manière plus complète : \[\frac{\partial}{\partial t}\Psi_n=\hat{H}~\Psi_n=E_n~\Psi_n\qquad[23]\]

L’équation intégrée peut être exprimée sous la forme : \[\Psi=\exp\Big(-\frac{i}{\hbar}~E_n~t\Big)~\Psi_n(q)\qquad[24]\]

\(\Psi_n(q)\) étant une fonction dépendant des coordonnées seules.

Les fonctions \(\Psi\) et les valeurs propres de l’énergie sont contenues dans la relation : \[\hat{H}~\Psi=E~\Psi\qquad[26]\]

L’état stationnaire dont la valeur de l’énergie est la plus petite parmi toutes celles possibles est appelé état normal ou fondamental du système.

Le développement de la fonction d’onde arbitraire \(\Psi\) en fonction d’onde des états stationnaires s’écrit : \[\Psi=\sum_n~a_n~\exp\Big(-\frac{i}{\hbar}~E_n~t\Big)~\Psi_n(q)\qquad[27]\]

Les carrés \(|a_n|^2\) des coefficients du développement représentent comme on le sait les probabilités des diverses valeurs du système.

5.2. Particule dans un champ extérieur

L’écriture de l’équation de Schrödinger se présente sous deux aspects, respectivement :

• avec le temps : \[i~\hbar~\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2~m}~\Delta\Psi+U(x,~y,~z)~\Psi\qquad[28]\]

• sans le temps : \[\frac{\hbar^2}{2~m}~\Delta\Psi+[E-U(x,~y,~z)]~\Psi=0\qquad[30]\]

Pour une particule libre, on fera \(U=0\).

Cette équation a des solutions finies dans tout l’espace. Quelle que soit la valeur positive de l’énergie (zéro compris), on peut prendre pour telles les fonctions propres communes des opérateurs des trois composantes de l’impulsion.

Les fonctions d’onde totales des états stationnaires s’écriront :

\[\begin{aligned} \Psi&=k~\exp\Big(-\frac{i}{\hbar}~E~t+\frac{i}{\hbar}~p~r)\qquad k=\text{cte}\qquad[31] \\ E&=\frac{p^2}{2~m}\end{aligned}\]

Chacune d’entre elles décrit un état dans lequel la particule possède une énergie \(E\) et une impulsion \(p\) déterminée.

C’est une onde plane progressant dans la direction de \(\overrightarrow{p}\), de fréquence \(\nu=\cfrac{E}{\hbar}\) et de longueur d’onde \(\cfrac{2\pi~\hbar}{p}\). Elle est également connue sous le nom d’onde de Louis de Broglie.