1. Rotation infinitésimale (pour rappel)

Nous avons vu au chapitre 4 de l’article IX qu’en effectuant un petit déplacement $\Delta x$ suivant l’axe des $(x)$, un état $|\Psi\rangle$ était transformé en un autre état $|\Psi'\rangle$ tel que : $$|\Psi'\rangle=\hat{D}_x(\Delta x)~|\Psi\rangle=(1+\frac{i}{\hbar}~\hat{p}_x~\Delta x)~|\Psi\rangle\qquad[1]$$

Pour une très petite rotation $\Delta\phi$ autour de l’axe des $(z)$, et en écriture analogue : $$\hat{R}_z(\Delta\phi)~|\Psi\rangle=(1+\frac{i}{\hbar}\hat{J}_z~\Delta\phi)~|\Psi\rangle\qquad[2]$$

$\hat{J}_z$ apparaît ainsi comme la composante $z$ d’un moment cinétique un peu particulier.

2. Moment cinétique orbital

Revenons à présent à la fonction d’onde $\Psi(r)$. Elle ne dépend que des coordonnées du système étudié$\{r=x,~y,~z\}$.

Un opérateur moment cinétique relatif à l’axe des $z$ est noté $\hat{L}_z$. L’opérateur algébrique associé est noté $\hat{\mathcal{L}_z}$. On lui associe une rotation d’énergie impulsionnelle $\varepsilon$ : $$\hat{R}_z(\varepsilon)~|\Psi\rangle=(1+\frac{i}{\hbar}~\hat{L}_z~\varepsilon)~|\Psi\rangle\qquad[3]$$

Cette définition ne s’applique qu’à un état $|\Psi\rangle$, ne dépendant que des coordonnées {$r=x,~y,~z$}, donc sans variables internes (intrinsèques).

Suite à une rotation de petit angle $\varepsilon$ autour de l’axe $z$, nous observons un nouvel état : $$|\Psi'\rangle=\hat{R}_z(\varepsilon)~|\Psi\rangle\qquad[4]$$

Et si nous voulions décrire l’état $|\Psi\rangle$ dans une représentation d’espace : $$\Psi'(r)=(1+\frac{i}{\hbar}~\varepsilon~\hat{\mathcal{L}}_z)~\Psi(r)\qquad[5]$$

Dans le nouveau système, en supposant $\varepsilon$ extrêmement petit de sorte que l’amplitude pour la particule dans une position donnée $P$ puisse être supposée conservée, on peut écrire : $$\Psi'(x,~y,~z)=\Psi(x+\varepsilon~y,~y-\varepsilon~x,~z)=\Psi(x,~y,~z)+\varepsilon~y~\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\varepsilon~x~\frac{\partial\Psi}{\partial y}\qquad[6]$$

Il en résulte pour l’opérateur algébrique une expression symbolique utile : $$\hat{\mathcal{L}_z}=\frac{\hbar}{i}~\Big\{x~\frac{\partial}{ \partial y}-y~\frac{\partial}{\partial x}\Big\}\qquad[7]$$

formule qui ressemble – ce qui était intuitif – aux composantes provenant à la formule classique d’un produit vectoriel (donc d’un moment) : $$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\wedge\overrightarrow{p}$$

On remarquera deux équivalences pour la formule [7] :

• Opérateurs algébriques : $$\hat{\mathcal{L}_z}=x~\hat{\mathcal{P}_y}-y~\hat{\mathcal{P}_x}\quad\text{et permutations}\qquad[8]$$

• Opérateurs quantiques : $$\hat{L}_z=\hat{x}~\hat{p}_y-\hat{y}~\hat{p}_x\quad\text{et permutations}\qquad[9]$$

3. Règle de commutation

On peut établir la règle de commutation des moments angulaires (voir la démonstration ci-après) : $$\{\hat{L}_x~\hat{L}_y\}=\hat{L}_x~\hat{L}_y-\hat{L}_y~\hat{L}_x=i~\hbar~\hat{L}_z\qquad[10]$$

Le résultat n’étant pas nul, les opérateurs $\hat{L}_x$ et $\hat{L}_y$ ne commutent pas.

Exemple : image physique du phénomène de non commutation avec un simple livre posé sur une table.

• Faisons-le tourner de $\pi/2$ autour des $(x)$ puis de $\pi/2$ autour des $(y)$ ;

• faisons-le tourner de $\pi/2$ autour des $(y)$ puis de $\pi/2$ autour des $(x)$.

• Le résultat diffère du premier.

C’est à cette propriété de l’espace que l’on doit la relation [10].

3.1. Démonstration

Démonstration effectuée dans le seul but d’illustrer une manipulation des opérateurs.

Les écritures des variables $\hat{x}$ et $\hat{y}$ sont à présent considérées comme des opérateurs et non comme une simple multiplication.

Effectuons le développement suggéré : $$\{\hat{L}_x,~\hat{L}_y\}=\{\hat{y}~\hat{p_z}-\hat{z}~\hat{p}_y~,~\hat{z}~\hat{p_x}-\hat{x}~\hat{p}_z \}$$

L’opération étant distributive : $$\{\hat{y}~\hat{p}_z,~\hat{z}~\hat{p}_x\}-\{\hat{y}~\hat{p}_z,~\hat{x}~\hat{p}_z\}-\{\hat{z}~\hat{p}_y,~\hat{z}~\hat{p}_x\}+\{\hat{z}~\hat{p}_y,~\hat{x}~\hat{p}_z\}$$

Les deux termes précédés du signe $(-)$ sont tous deux nuls.

Par ailleurs : $$\{\hat{x}_i,~\hat{p}_j\}=\delta_{ij}\qquad\forall~i,~j\in\{x,~y,~z\}$$

Il reste : $$\{\hat{L}_x,~\hat{L}_y\}=\{\hat{y}~\hat{p}_z,~\hat{z}~\hat{p}_x\}+\{\hat{z}~\hat{p}_y,~\hat{x}~\hat{p}_z\}$$

Compte tenu de la dissymétrie : $$\{\hat{L}_y,~\hat{L}_x\}=-\{\hat{L}_x,~\hat{L}_y\}$$

– Première relation : $$\{\hat{y}~\hat{p}_z,~\hat{z}~\hat{p}_x\}=\hat{y}~\hat{p}_z~~\hat{z}~\hat{p}_x-\hat{z}~\hat{p}_x~~\hat{y}~\hat{p}_z=\hat{y}~\hat{p_x}~(\hat{p}_z~\hat{z}-\hat{z}~\hat{p}_z)=\hat{y~}\hat{p_x}~\{\hat{p}_z,~\hat{z}\}$$

– Deuxième relation : $$\{\hat{z}~\hat{p}_y,~\hat{x}~\hat{p}_z\}=\hat{x}~\hat{p}_y~\{\hat{z},~\hat{p}_z\}$$

En les additionnant : $$\hat{y}~\hat{p}_x~(-i~\hbar)+\hat{x}~\hat{p}_y~(+i~\hbar)$$

Ce qui donne bien : $$i~\hbar~(\hat{x}~\hat{p}_y-\hat{y}~\hat{p}_x)=i~\hbar~\hat{L}_z$$

D’une manière générale : $$[14]\qquad \left\{ \begin{aligned} &\{\hat{L}_x,~\hat{L}_y\}=i~\hbar~\hat{L}_z\\ &\{\hat{L}_y,~\hat{L}_z\}=i~\hbar~\hat{L}_x\\ &\{\hat{L}_z,~\hat{L}_x\}=i~\hbar~\hat{L}_y \end{aligned} \right.$$

Si nous considérons par contre l’opérateur carré du moment cinétique (distingué par un caractère gras) : $$\hat{\textbf{L}}^2=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2\qquad[15]$$

On obtient : $$\{\hat{\textbf{L}}^2,~\hat{L}_x\}=\{\hat{\textbf{L}}^2,~\hat{L}_y\}=\{\hat{\textbf{L}}^2,~\hat{L}_z\}=0\qquad[16]$$

Le nouvel opérateur commute avec chacun des trois autres opérateurs.

Physiquement, cela signifie que le carré du moment cinétique, c’est-à-dire sa valeur absolue, peut avoir une valeur déterminée en même temps que l’une de ses composantes.

4. Combinaisons complexes

Au lieu des opérateurs classiques $\hat{L}_x,~\hat{L}y$, il est souvent plus commode d’utiliser leurs combinaisons complexes : $$\hat{L}_+=\hat{L}_x+i~\hat{L}y\qquad;\qquad\hat{L}_-=\hat{L}_x-i~\hat{L}y\qquad[17]$$

Par un calcul direct à partir des relations [14], on pourra établir que ces combinaisons obéissent aux règles de commutation suivantes : $$[18]\qquad \left\{ \begin{aligned} &\{\hat{L}_+,~\hat{L}_-\}=2~\hat{L}_z\\ &\{\hat{L}_z,~\hat{L}_+\}=\hat{L}_+\\ &\{\hat{L}_z,~\hat{L}_-\}=-\hat{L}_- \end{aligned} \right.$$

De la même manière, on pourra vérifier que : $$\begin{aligned} &\hat{\textbf{L}}^2=\hat{L}_+~\hat{L}_-+\hat{L}_z^2-\hat{L}_z\qquad[19]\\ &\hat{\textbf{L}}^2=\hat{L}_-~\hat{L}_++\hat{L}_z^2+\hat{L}_z \end{aligned}$$

4.1. Expression analytique de $\hat{L}^2$

En effectuant le calcul en coordonnées sphériques : $$[20]\qquad \begin{aligned} &x=r~\sin\theta~\cos\varphi\\ &y=r~\sin\theta~\sin\varphi\\ &z=r~\cos\theta \end{aligned}$$

et sachant que : $$\hat{L}_z=-i~\hbar~\frac{\partial}{\partial\varphi}$$

on obtient le résultat suivant : $$\hat{\textbf{L}}^2=-\hbar^2~\Big\{\frac{1}{\sin^2\theta}~\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}+\frac{1}{\sin\theta}~\frac{\partial}{\partial\theta}~\Big(\sin\theta~\frac{\partial}{\partial\theta}\Big)\Big\}\qquad[21]$$

On retrouve, à un facteur près, le terme angulaire de l’opérateur de Laplace $\Delta$ donné en coordonnées sphériques.

5. Valeurs propres

5.1. Moment $\hat{L}_z$

Pour déterminer la valeur propre du moment cinétique de la particule sur une certaine direction, il est commode d’utiliser l’expression de son opérateur en coordonnées sphériques, l’axe polaire étant confondu avec la direction envisagée.

Nous appellerons $\hat{l}_z$ cet opérateur, utilisant la lettre minuscule pour bien signifier qu’il s’agit d’une particule et non d’un système.

La relation à la fonction d’onde : $$\hat{l}_z~\Psi=l_z~\Psi$$

s’écrivant analytiquement : $$\Big(-i~\hbar~\frac{\partial}{\partial\phi}\Big)~\Psi=l_z~\Psi$$

L’opérateur $\hat{l}_z$ n’agissant que sur $\phi$, il est alors possible de séparer les variables en posant : $$\Psi(r,~\theta,~\phi)=f(r,~\theta)~g(\phi)\qquad[21]$$

telle que : $$-i~\hbar~\frac{df}{d\phi}=\hbar~m~g(\phi)$$

Ce qui fait que $g(\phi)$ est de la forme $\exp(i~m~\phi)$ à un facteur de normalisation près et à un facteur de phase près.

On part donc de la forme : $$\Psi=f(r,~\theta)~\exp(i~m~\phi)\qquad[22]$$

1. $f(r,~\theta)$ est une fonction arbitraire de $r$ et de $\theta$ ;

2. pour que la fonction $\Psi$ soit uniforme, il faut qu’elle soit périodique en $\phi$ et de période $2\pi$.

On en déduit que : $$l_z=m\quad;\quad m=0,~\pm 1,~\pm 2,~\dots\qquad[23]$$

Les valeurs propres $l_z$ sont donc des entiers, positifs et négatifs (valeur zéro comprise).

$m$, désignation généralement admise pour les valeurs propres de la projection du moment cinétique, est aussi celle de la masse de la particule.

Le facteur dépendant de $\phi$ sera désigné par : $$\Phi_m(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}~\exp(i~m~\phi)\qquad[24]$$

C’est une caractéristique des fonctions propres de l’opérateur $\hat{l}_z$ qui sont normalisées, de sorte qu’elles respectent la condition : $$\int_0^{2\pi}\overline{\Phi_m(\phi)}~~\Phi_{m'}(\phi)~~d\phi=\delta_{mm'}\qquad[25]$$

$\delta$ étant le classique symbole de Kronecker.

Dans la même ligne que ce qui a été dit précédemment, les valeurs propres sur l’axe des $z$ du moment cinétique total du système sont aussi des entiers : $$L_z=M\quad;\quad M=0,~\pm 1,~\pm 2,~\dots\qquad[26]$$

Ceci résulte du fait que $\hat{L}_z$ est la somme d’opérateurs commutatifs $\hat{l}_z$ des diverses particules.

On obtient le même résultat pour $\hat{L}_x$ et $\hat{L}_y$ pour les composantes du moment cinétique dans n’importe quelle direction. Elles ne peuvent toujours prendre que des valeurs entières.

On démontre qu’il n’existe pas d’état dans lequel deux ou trois composantes du moment dans différentes directions aient simultanément des valeurs déterminées non nulles de sorte que seule l’une d’entre elles peut prendre des valeurs entières.

5.2. Moment $\hat{\textbf{L}}^2$

Les valeurs propres de $L^2$ peuvent être obtenues à partir des règles de commutation.

Désignons par $\Psi_M$ les fonctions d’onde des états stationnaires se rapportant à un niveau d’énergie dégénéré et se distinguant par la valeur $L_z=M$.

Partons alors de la relation : $$\hat{\textbf{L}}^2=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2\qquad\text{ou}\qquad\hat{\textbf{L}}^2-\hat{L}_z^2=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2\qquad[27]$$

On voit donc que : $$\hat{\textbf{L}}^2-\hat{L}_z^2\geq 0\qquad\text{c'est-à-dire }:\quad\hat{\textbf{L}}^2>\hat{L}_z^2\qquad[28]$$

Et on aura, pour toutes les valeurs propres de $L_z$ : $$-\sqrt{\textbf{L}^2}~\leq~L_z~\leq~+\sqrt{\textbf{L}^2}\qquad[29]$$

Désignons par $L$ le nombre entier correspondant à la plus grande valeur de $|L_z|$. Puis, appliquant l’opérateur $\hat{L}_z~\hat{L}_{\pm}$ à la fonction propre $\Psi_M$ de l’opérateur $\hat{L}_z$ et compte tenu de la règle de commutation : $$\{\hat{L}_z,~\hat{L}_{\pm}\}=\hat{L}_{\pm}$$

il vient : $$(\hat{L}_z~\hat{L}_{\pm})~\Psi_M=(M\pm 1)~\hat{L}_{\pm}~\Psi_M\qquad[30]$$

Ceci prouve que la fonction $(\hat{L}_{\pm}~\Psi_M)$ est, à un facteur de normalisation près, la fonction propre correspondant à la valeur $(M\pm 1)$ de $L_z$.

On peut donc écrire : $$[31]\qquad \left\{ \begin{aligned} &\Psi_{M+1}=k~\hat{L}_+~\Psi_M\quad;\quad k\text{ constant}\\ &\Psi_{M-1}=k~\hat{L}_-~\Psi_M \end{aligned} \right.$$

En faisant $M=L$ dans la première relation, on doit avoir identiquement $\hat{L}_+~\Psi_L=0$, car il n’existe pas, par définition, d’état tel que $M>L$.

Appliquons à présent cette égalité à l’opérateur $\hat{L}_-$ et en utilisant la relation [19] : $$\hat{L}_-~\hat{L}_+~\Psi_L=(\hat{\textbf{L}}^2-L_y^2-L_z^2)~\Psi_L=0\qquad[31]$$

Les $\Psi_M$ étant les fonctions propres communes de $\hat{\textbf{L}}^2$ et $\hat{L}_z$ : $$[32]\qquad \left\{ \begin{aligned} &\hat{\textbf{L}}^2~\Psi_L=\textbf{L}^2~\Psi_L \\ &\hat{L}_z^2~\Psi_L=L^2~\Psi_L\\ &\hat{L}_z~\Psi_L=L~\Psi_L \end{aligned} \right.$$

De sorte que l’équation déduite donne : $$\textbf{L}^2=L~(L+1)\qquad[33]$$

Cette relation mathématique justifie l’adoption de la notation $\textbf{L}^2$, opérateur et sans aucun rapport avec $L^2$ (carré de $L$).

Pour une valeur donnée de $L$, la composante $L_z=M$ du moment peut prendre les valeurs : $$M=L,~L-1,~\dots,~-L\qquad[34]$$

C’est-à-dire en tout $(2~L+1)$ valeurs différentes.

Ainsi, le niveau d’énergie correspondant au moment $L$ est $(2~L+1)$ fois dégénéré. L’état de moment $L=0$ (ses trois composantes étant alors non nulles) n’est pas dégénéré. La fonction d’onde d’un tel état est douée de symétrie sphérique.

Le moment d’une seule particule étant désigné par $l$, nous pourrions écrire de manière analogue : $$\textbf{l}^2=l~(l+1)$$

6. Fonctions propres

La donnée de $\hat{\textbf{l}}^2$ et $l$ ne définit pas complètement la fonction d’onde d’une particule.

Les expressions en coordonnées sphériques des opérateurs de ces grandeurs ne contiennent que les angles $\theta$ et $\phi$. De sorte que leurs fonctions propres peuvent contenir un facteur arbitraire dépendant de $r$.

Il ne sera question ici que de la partie angulaire de la fonction d’onde.

Désignons-là par $Y_{lm}(\theta,~\varphi)$ et normalisons-là : $$\int|Y_{lm}|^2~\sin\theta~d\theta~d\varphi=1\qquad[35]$$

On peut chercher les fonctions propres sous la forme (séparation des variables) : $$Y_{lm}=\Phi_m(\varphi)~~\Theta_{lm}(\theta)\qquad[36]$$

Et nous avons vu que (fonctions propres de $l_z$) : $$\Phi_m(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}~\exp(i~m~\varphi)$$

Les $\Theta_{lm}$ doivent être également normalisées : $$\int_0^{\pi}|\Theta_{lm}|^2~\sin\theta~d\theta=1\qquad[37]$$

Les fonctions $Y_{lm}$ sont automatiquement orthogonales : $$\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}\overline{Y_{l'm'}}~~Y_{lm}~\sin\theta~d\theta~d\varphi=\delta_{l'l}~\delta_{m'm}\qquad[38]$$

Ce qui est évident, car ce sont des fonctions propres d’opérateurs du moment correspondant à différentes valeurs propres.

Les fonctions $\Theta_{lm}(\theta)$ ne sont pas elles-mêmes fonctions propres de l’un quelconque des opérateurs du moment. Elles sont orthogonales pour différents $l$, mais non pour différents $m$.

Nous allons à présent faire le calcul de ces fonctions $\Theta$, la méthode la plus directe consistant à déterminer les fonctions propres de l’opérateur $\hat{\textbf{l}}^2$ exprimé en coordonnées sphériques.

L’équation : $$\hat{\textbf{l}}^2~\Psi=l^2~\Psi$$

conduit à : $$\frac{1}{\sin^2\theta}~\frac{\partial^2\Psi}{\partial\varphi^2}+\frac{1}{\sin\theta}~\frac{\partial}{\partial\theta}\Big(\sin\theta~\frac{\partial\Psi}{\partial\theta}\Big)+l~(l+1)=0\qquad[39]$$

Revenant à la forme de $\Psi$ en $\Phi_m(\phi)~\Theta_{lm}(\theta)$, il vient : $$-\frac{m^2}{\sin^2\theta}~\Theta_{lm}+\frac{1}{\sin\theta}~\frac{d}{d\theta}\Big(\sin\theta~\frac{d\Theta_{lm}}{d\theta}\Big)+l~(l+1)=0\qquad[40]$$

Une équation bien connue dans la théorie des fonctions sphériques. Ses solutions satisfont aux conditions de finitude et d’uniformité pour les entiers positifs $l~\geq~|m|$. Les solutions correspondantes sont connues en tant que polynômes de Legendre $P_l^m(\cos\theta$).

Toute normalisation effectuée, il vient : $$\Theta_{lm}(\theta)=(-1)^m~i^l~\sqrt{\frac{(2~l+1)}{2}}~\sqrt{\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}~P_l^m(\cos\theta)\qquad[41]$$

On a supposé $m~\geq~0$.

Pour les valeurs de $m<0$, on définira $\Theta_{lm}$ par la relation : $$\Theta_{l,~-|m|}=(-1)^m~\Theta_{l,~|m|}\qquad[42]$$

Pour $m=0$, on aura : $$\Theta_{l0}=i^l~\sqrt{\frac{2~l+1}{2}}~P_l(\cos\theta)\qquad[43]$$

Ainsi donc, du point de vue mathématique, les fonctions propres du moment ne sont autres que des fonctions sphériques convenablement normalisées.

Les fonctions se distinguant du signe de $m$ sont liées par la relation : $$(-1)^{l-m}~Y_{l,~-m}=\overline{Y_{lm}}\qquad[44]$$

7. Règles d’additions des parités d’état et des moments

7.1. Parités

Introduisons à présent l’opérateur d’inversion $\hat{I}$. Son action sur une fonction consiste dans le changement des signes de toutes ses coordonnées.

L’opérateur d’Hamilton $\hat{H}$ est invariant à l’égard de l’inversion : $$\hat{H}~\hat{I}-\hat{I}~\hat{H}=0\qquad[45]$$

L’opérateur $\hat{I}$ commute également avec les opérateurs du moment cinétique : $$[46] \qquad \left\{ \begin{aligned} &\{\hat{I},~\hat{L}_x\}=\{\hat{I},~\hat{L}_y\}=\{\hat{I},~\hat{L}_z\}=0\\ &\{\hat{I},~\hat{\textbf{L}}^2\}=0 \end{aligned} \right.$$

Les signes des coordonnées et des opérateurs de dérivation par rapport aux coordonnées changeant par inversion, les opérateurs du moment restent inchangés.

Quelles sont les valeurs propres $I$ de l’opérateur d’inversion $\hat{I}$ ?

On commence par poser : $$\hat{I}~\Psi=I~\Psi\qquad[47]$$

On applique deux fois l’opérateur $\hat{I}$, c’est à dire l’opération identique : $$\hat{\textbf{I}^2}~\Psi=\textbf{I}^2~\Psi=\Psi\quad\Rightarrow\quad I=\pm 1\qquad[48]$$

Ainsi, les fonctions propres de l’opérateur d’inversion restent ou bien absolument inchangées, ou bien encore elles changent de signe. Dans le premier cas, on dit que la fonction d’onde (et l’état correspondant) est paire et que, dans le second, elle est impaire.

L’égalité [45] exprime donc la loi de la conservation de la parité : si l’état d’un système fermé est doué d’une parité déterminée (paire ou impaire), cette parité se conserve dans le temps.

Les égalités [46] signifient, au point de vue physique, que le système peut être doué de $L$ et $M$ déterminés ainsi que, simultanément, d’une parité d’état déterminée. On peut alors affirmer que tous les états différant uniquement par la valeur de $M$ ont la même parité.

7.2. Addition des moments

Ce chapitre étant constitué par un grand nombre de calculs classiques, nous nous en tiendrons à certains résultats importants à connaître, ceci en vue de leurs applications.

Considérons un système composé de deux parties en interaction faible. Quelles sont les valeurs possibles de $L$ pour des $L_1$ et $L_2$ donnés ?

La loi d’addition des composantes des moments est évidente : $$\hat{L}_z=\hat{L}_{1z}+\hat{L}_{2z}\quad\Rightarrow\quad M=M_1+M_2\qquad[49]$$

Une telle relation simple n’a plus lieu pour les opérateurs des carrés des moments.

On adopte le modèle vectoriel en introduisant deux vecteurs $(\textbf{L}_1,~\textbf{L}_2)$ de longueurs $(L_1,~L_2)$. Les valeurs de $L$ se représentent comme les longueurs entières des vecteurs $\textbf{L}$, sommes vectorielles de $(\textbf{L}_1,\textbf{L}_2)$.

La plus grande valeur $(L_1+L_2)$ de $L$ s’obtient lorsque $\textbf{L}_1$ et $\textbf{L}_2$ sont parallèles et la plus petite $(|L_1-L_2|)$ lorsqu’elles sont antiparallèles. Par itération, la règle déduite permet d’ajouter les moments en nombre arbitraire.

Dans les états où les moments $L_1$ et $L_2$ et le moment total $L$ ont des valeurs déterminées, il en est de même des produits scalaires $(\textbf{L}_1,~\textbf{L}_2),~(\textbf{L},~\textbf{L}_1),~(\textbf{L},~\textbf{L}_2)$.

On écrit que : $$\hat{L}=\hat{L}_1+\hat{L}_2$$

puis, élevant au carré : $$2~\hat{L}_1~\hat{L_2}=\hat{L}^2-\hat{L}_1^2-\hat{L}_2^2\qquad[50]$$

Remplaçant les opérateurs du second membre par leurs valeurs propres, on obtient la valeur propre de l’opérateur du premier membre de l’égalité : $$\textbf{L}_1~\textbf{L}_2=\frac{1}{2}~\big\{L~(L+1)-L_1~(L_1+1)-L_2~(L_2+1)\big\}\qquad[51]$$

Et, de manière analogue : $$\textbf{L}~\textbf{L}_1=\frac{1}{2}~\big\{L~(L+1)+L_1~(L_1+1)-L_2~(L_2+1)\big\}\qquad[52]$$