1. Introduction : une ambiguïté

Le spin a été spontanément interprété comme un degré de liberté supplémentaire, une forme de rotation de l’électron sur lui-même (en anglais spin signifiant tourner). Le formalisme de la mécanique quantique admet l’introduction d’une nouvelle variable, spécifique à chaque particule, et susceptible de prendre des valeurs discrètes lors du mouvement de cette particule.

En mécanique quantique, un certain moment propre considéré comme étranger au mouvement dans l’espace est attribué à une particule élémentaire. Cette propriété est essentiellement quantique : elle doit disparaître à la limite (\(\hbar~\rightarrow~0\)) et n’admet donc pas d’interprétation classique, contrairement au moment cinétique. Notamment, il serait absurde de se représenter le moment propre d’une particule élémentaire comme le résultat de sa rotation autour de son axe.

Dès 1924, le physicien W. Pauli montrait que, compte tenu des dimensions de l’électron, à une telle rotation serait associée en son équateur une vitesse tangentielle de rotation supérieure à la vitesse limite de la lumière, donc à l’encontre des principes de la relativité restreinte. Dès 1927, il proposait une modélisation du spin en termes de matrices.

2. Moment intrinsèque de spin

2.1. Précautions

Le spin est le moment cinétique intrinsèque des particules quantiques. C’est un opérateur vectoriel hermitien noté \(\hat{S}\) dont les composantes par référence à un système cartésien sont également notées \((\hat{S}_x,~\hat{S}_y,~\hat{S}_z)\).

À partir du moment où la distinction de l’origine physique a été faite, le moment de spin peut être étudié en analogie avec le moment cinétique orbital, notamment les règles concernant la commutation.

En premier exemple : \[[1]\qquad \begin{aligned} &\{\hat{S}_y,~\hat{S}_z\}=i~\hbar~\hat{S}_x\\ &\{\hat{S}_z,~\hat{S}_x\}=i~\hbar~\hat{S}_y\\ &\{\hat{S}_x,~\hat{S}_y\}=i~\hbar~\hat{S}_z \end{aligned}\]

D’une manière plus symbolique : \[[2]\qquad \begin{aligned} &\{\hat{S}_i,~\hat{S}_j\}=i~\hbar~\varepsilon_{ijk}~\hat{S}_k\\ &\{\hat{\textbf{S}}^2,~\hat{S}_i\}=0 \end{aligned}\]

\(\varepsilon_{ijk}\) étant le symbole de Lévi Civita dont les valeurs sont les suivantes : \[[3]\qquad \begin{aligned} &+1&&(1,~2,~3)~~(2,~3,~1)~~(3,~1,~2)\\ &-1&&(3,~2,~1)~~(1~,3,~2)~~(2,~1,~3)\\ &~~~0&&i=j~;~j=k~;~k=i \end{aligned}\]

Les vecteurs propres des opérateurs \(\hat{\textbf{S}}^2\) et \(\hat{S}_z\) représentent l’ensemble des mesures possibles pour les deux observables, c’est-à-dire respectivement le carré de la norme et la projection sur un axe des \((z)\) arbitraire dans l’espace.

2.2. Valeurs propres

Les relations de commutation précédentes permettent de déterminer les valeurs possibles des composantes du spin et sa valeur absolue.

À quelques précautions près, on adopte des méthodes de calcul analogues à celles adoptées pour le moment cinétique orbitale : on ne peut plus affirmer que ces valeurs doivent être entières comme l’étaient les projections \(L_z\) du moment orbital.

La suite des valeurs propres \(s_z\) est bornée supérieurement et inférieurement par deux nombres de même valeur absolue que nous désignons par \(\pm s\).

La différence \(2~s\) des valeurs extrêmes de \(s_z\) doit être un entier ou zéro. Par conséquent, le nombre \(s\) ne peut prendre que les valeurs \(0,~\cfrac{1}{2},~1,~\cfrac{3}{2},~\dots\) Ainsi, les valeurs propres du carré du spin s’écrivent : \[\textbf{s}^2=s~(s+1)\qquad[4]\]

\(s\) pouvant être ou bien un entier (zéro compris), ou bien un nombre demi-entier.

Pour \(s\) donné, la composante \(s_z\) du spin peut parcourir toutes les valeurs \(s,~s-1,~s-2,~\dots,~-s\), soit en tout \(2~s+1\) valeurs.

Une particule de spin \(s\) sera décrite par une fonction d’onde constituée par \((2~s+1)\) fonctions des coordonnées.

L’expérience prouve que la plupart des particules élémentaires sont douées de spin \(1/2\) : électrons, positrons, neutrons, mésons \(\mu\), mais il existe des particules douées de spin \(0\) : mésons \(\pi\) et mésons \(K\).

3. Moment cinétique total

Le moment cinétique total d’une particule est la somme de son moment orbital \(\textbf{l}\) et de son spin \(\textbf{s}\). Leurs opérateurs, agissant sur des fonctions de variables tout à fait différentes, commutent entre eux.

Les valeurs propres du moment total : \[\textbf{j}=\textbf{l}+\textbf{s}\qquad[5]\]

sont données par la même règle de modèle vectoriel pour la somme des moments orbitaux de deux différentes particules. À savoir, \(l\) et \(s\) étant donnés, le moment total peut prendre les valeurs : \(l+s,~l+s-1,~\dots,~|l-s|\).

Ainsi, dans le cas de l’électron (spin 1/2), lorsque le moment orbital n’est pas nul, le moment total peut avoir les valeurs \(j=l\pm~1/2\). Si \(l=0\), le moment total ne peut prendre que la valeur \(j=1/2\).

L’opérateur de moment total \(\textbf{J}\) d’un système de particules est égal à la somme des opérateurs de chacune d’elles : ses valeurs sont données de nouveau suivant la règle du modèle vectoriel : \[[5] \qquad \left\{ \qquad \begin{aligned} &\textbf{J}=\textbf{L}+\textbf{S}\\ &\textbf{L}=\sum_a\textbf{I}_a\quad;\quad\textbf{S}=\sum_a\textbf{s}_a \end{aligned} \right.\]

\(\textbf{S}\) pouvant être appelé spin total et \(\textbf{L}\) moment orbital total du système.

Les opérateurs du moment total d’une particule \(\textbf{j}\) (ou d’un système de particules \(\textbf{J}\)) satisfont aux mêmes règles de commutation que les opérateurs de moment orbital ou de spin puisque ce sont là des règles générales, vraies pour n’importe quel moment de quantité de mouvement.

4. Spin : fonction d’onde et matrices

4.1. Fonction d’onde

Considérons une particule de spin \(\sigma\), c’est-à-dire que \(\sigma\) désigne la composante du spin sur l’axe des \(z\), parcourant les valeurs de \(-s\) à \(+s\). La fonction d’onde est alors notée \(\Psi(x,~y,~z~;~\sigma)\).

Nous dirons des fonctions \(\Psi(\sigma)\) que ce sont les composantes de la fonction d’onde . Le choix de ces composantes est soumis à la condition que l’intégrale : \[\int |\Psi(\sigma)|^2~d\tau\]

soit la probabilité pour que la particule se trouve dans l’élément de volume \(d\tau\).

Si la particule se trouve dans un état de valeur déterminée \(\sigma=\sigma_0\), de toutes les composantes \(\Psi(\sigma)\) seule, n’est pas nulle celle dont \(\sigma=\sigma_0\), c’est-à-dire lorsque la fonction d’onde est de la forme : \[\Psi(x,~y,~z~;~\sigma)=\Psi(x,~y,~z)~~\delta_{\sigma,~\sigma_0}\]

On démontre que, par rotation d’un angle fini \(\varphi\), les fonctions \(\Psi(\sigma)\) se transforment dans les fonctions : \[\Psi(\sigma')=\Psi(\sigma)~\exp(i~\sigma~\phi)\qquad[6]\]

Ainsi, par une rotation complète (angle \(2\pi\)) autour d’un axe, la fonction d’onde d’une particule de spin entier reprend sa valeur initiale. Elle change de signe pour un spin demi-entier.

4.2. Matrices

Comme tout opérateur, l’opérateur de spin peut être exprimé sous forme de matrice et utilisé comme tel, la manipulation des matrices étant souvent pratique.

Faisons l’hypothèse d’une particule de nombre quantique de spin \(1/2\), ce qui est le cas de l’électron, du proton et du neutron ; il existe seulement deux états de spin distincts caractérisés par \(m_s=\pm 1/2\).

Pauli a introduit trois matrices \((2\times 2)\), notées \(\sigma_i\) avec \(i=\{x,~y,~z\)}. Ces trois matrices s’écrivent explicitement et respectivement : \[[7] \qquad \left\{ \begin{aligned} &\sigma_x= \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \quad;\quad \sigma_y= \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} \quad;\quad \sigma_z= \begin{pmatrix} i&0\\ 0&-i \end{pmatrix} \\ &I=\delta_{ij}= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \end{aligned} \right.\]

Effectuons quelques opérations particulières :

1) Produit d’une matrice par elle-même : \[\sigma_x^2=\sigma_x~\sigma_x= \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\]

On reconnaît la matrice unité \(I\).

2) Produit croisé : \[\sigma_x~\sigma_y= \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i&0\\ 0&-i \end{pmatrix}\]

On reconnaît la matrice \(\sigma_z\).

3) Tableau récapitulatif des produits de matrices de spin : \[[8] \qquad \left\{ \begin{aligned} &\sigma_x^2=\sigma_y^2=\sigma_z^2=1\\ &\sigma_x~\sigma_y=-\sigma_y~\sigma_x=i~\sigma_z\\ &\sigma_y~\sigma_z=-\sigma_z~\sigma_y=i~\sigma_x\\ &\sigma_z~\sigma_x=-\sigma_x~\sigma_z=i~\sigma_y \end{aligned} \right.\]

Ces relations, établies à partir de la multiplication des matrices de Pauli et combinées avec les règles de commutation permettent d’établir que, pour les opérateurs en tant que tels : \[[9] \qquad \left\{ \begin{aligned} \hat{s}_x~\hat{s}_y+\hat{s}_y~\hat{s}_x=0\\ \hat{s}_x~\hat{s}_z+\hat{s}_z~\hat{s}_x=0\\ \hat{s}_y~\hat{s}_z+\hat{s}_z~\hat{s}_y=0 \end{aligned} \right.\]

Autrement dit, les opérateurs associés aux matrices de Pauli anticommutent entre eux.

4.3. Spineur et tenseur

Passons à une étude un peu plus détaillée des propriétés de spin des fonctions d’onde.

Lorsque le spin est nul, seule la composante \(\Psi(0)\) de la fonction d’onde s’annule lorsqu’on lui applique les opérateurs de spin : \[\hat{s}_x~\Psi=\hat{s}_y~\Psi=\hat{s}_z~\Psi=0\qquad[10]\]

Les opérateurs de spin étant liés aux opérateur de rotation, cela signifie que la fonction d’onde d’une particule de spin \(0\) ne varie pas dans les rotations du système de coordonnées. Il s’agit donc d’un scalaire.

Les fonctions d’ondes des particules de spin, \(1/2\) \(\Psi(1/2)\) et \(\Psi(-1/2)\), seront notées respectivement par (indices supérieurs) : \[\Psi(1/2)\quad\Rightarrow\quad\Psi^1\quad;\quad\Psi(-1/2)\quad\Rightarrow\quad\Psi^2\qquad[11]\]

Dans une rotation arbitraire de coordonnées, ces composantes subissent une transformation linéaire que nous écrirons : \[[12] \qquad \left\{ \begin{aligned} &\Psi^{1'}=\alpha~\Psi^1+\beta~\Psi^2\\ &\Psi^{2'}=\gamma~\Psi^1+\delta~\Psi^2 \end{aligned} \right.\]

Les coefficient \(\alpha,~\beta,~\gamma,~\delta\) sont appelés paramètres de Cayley-Klein. Ces paramètres sont en général complexes et fonction des angles de rotation. On démontre qu’ils sont liés par la relation : \[\alpha~\delta-\beta~\gamma=1\qquad[13]\]

La quantité à deux composantes \((\Psi^1,~\Psi^2)\) subissant une transformation binaire dans la rotation des coordonnées est dite spineur. Ainsi, la fonction d’onde d’une particule de spin \(1/2\) est un spineur.

On peut donner à l’algèbre des spineurs une forme analogue à l’algèbre tensorielle. Il suffit d’introduire un espace vectoriel à deux dimensions où la métrique est déterminée par le tenseur métrique antisymétrique : \[\begin{pmatrix} g_{11}&g_{12}\\ g_{21}&g_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{pmatrix} \qquad[14]\]

Les vecteurs de cet espace sont précisément les spineurs.

Concurremment aux composantes contravariantes \((\Psi^1,~\Psi^2)\) d’un spineur, on peut introduire ses composantes covariantes conformément aux formules de l’algèbre tensorielle : \[\Psi_{\lambda}=g_{\lambda 1}~\Psi^1+g_{\lambda 2}~\Psi^2=\sum_{\mu=1}^{2}g_{\lambda\mu}~\Psi^{\mu}\qquad[15]\]

De sorte que : \[\Psi_1=\Psi^2\quad;\quad\Psi_2=-\Psi^1\qquad[16]\]

Les transformations binaires des composantes covariantes d’un spineur ont, de toute évidence (voir [12]), la forme : \[[17] \qquad \left\{ \begin{aligned} &\Psi'_1=\delta~\Psi_1-\gamma~\Psi_2\\ &\Psi'_2=-\beta~\Psi_1+\alpha~\Psi_2 \end{aligned} \right.\]

La transformation inverse des composantes covariantes aux composantes contravariantes peut s’écrire sous la forme : \[\Psi^{\lambda}=\sum_{\mu}g^{\mu\lambda}~\Psi_{\mu}\qquad[18]\]

Les composantes du tenseur métrique contravariant \(g^{\lambda\mu}\) coïncidant avec les \(g_{\lambda\mu}\) : \[\begin{pmatrix} g^{11}&g^{12}\\ g^{21}&g^{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{pmatrix} \qquad[19]\]

4.4. Produit scalaire

Soit à présent deux fonctions d’onde \((\Psi^1,~\Psi^2)\) et \((\Phi^1,~\Phi^2)\) se transformant d’après [12].

Considérons également la forme bilinéaire : \[\Psi^1~\Phi^2-\Psi^2~\Phi^1\qquad[20]\]

Cette combinaison (qui est d’ailleurs invariante) peut être écrite sous forme d’un produit scalaire : \[\Psi^{\lambda}~\Phi_{\lambda}=\Psi^1~\Phi_1+\Psi^2~\Phi_2=\Psi^1~\Phi^2-\Psi^2~\Phi^1=g_{\lambda\mu}~\Psi^{\lambda}~\Phi^{\mu}\qquad[21]\]

Notons par ailleurs la règle suivante : \[\Psi^{\lambda}~\Phi_{\lambda}=\Psi^1~\Phi_1+\Psi^2~\Phi_2=-\Psi_2~\Phi^2-\Psi_1~\Phi^1=-\Psi_{\lambda}~\Phi^{\lambda}\qquad[22]\]

relation qui montre que le produit scalaire de tout spineur par lui-même est nul : \[\Psi^{\lambda}~\Psi_{\lambda}=0\qquad[23]\]

L’expression de la probabilité de présence de la particule en un point donné de l’espace doit être nécessairement un scalaire : \[|\Psi^1|^2+|\Psi^2|^2=\Psi^1~\overline{\Psi^1}+\Psi^2~\overline{\Psi^2}\qquad[24]\]

En la comparant à l’expression [22], on voit que les composantes \((\overline{\Psi^1},~\overline{\Psi^2})\) complexes conjuguées de \((\Psi^1,\Psi^2)\) se transforment comme les composantes covariantes d’un spineur, c’est-à-dire respectivement comme \((\Psi^2)\) et \((-\Psi^1)\) : \[[25] \qquad \left\{ \begin{aligned} &\overline{\Psi^1}'=\delta~\overline{\Psi^1}-\gamma~\overline{\Psi^2}\\ &\overline{\Psi^2}'=-\beta~\overline{\Psi^1}+\alpha~\overline{\Psi^2} \end{aligned} \right.\]

En écrivant par ailleurs les égalités complexes de [12], il vient : \[[25] \qquad \left\{ \begin{aligned} &\overline{\Psi^1}'=\alpha~\overline{\Psi^1}+\beta~\overline{\Psi^2}\\ &\overline{\Psi^2}'=\gamma~\overline{\Psi^1}+\delta~\overline{\Psi^2} \end{aligned} \right.\]

Et les comparant avec la précédente relation, on trouve que les paramètres de Cayley-Klein satisfont à une nouvelle relation : \[\alpha=\overline{\delta}\quad;\quad\beta=-\overline{\gamma}\qquad[26]\]

4.5. Remarque

L’examen des relations [12] et [26] associées des paramètres de Cayley-Klein est révélateur. Les quatre quantités complexes \((\alpha,~\beta,~\gamma,~\delta)\) ne contiennent en réalité que trois paramètres indépendants, ce qui correspond aux trois angles déterminant la rotation du système de coordonnées à trois dimensions.

Le fait que \((\overline{\Psi^1},~\overline{\Psi^2})\) se transforment comme \((\Psi^2,~-\Psi^1)\) est intimement lié à la symétrie vis-à-vis de l’inversion du signe du temps. En mécanique quantique, en effet, l’inversion du temps correspond au remplacement de la fonction d’onde par sa conjuguée complexe.

Or, l’inversion du temps entraîne celle du signe du moment cinétique. C’est pourquoi les fonctions complexes conjuguées des composantes \((\Psi^1,~\Psi^2)\) correspondant aux projections du spin \(\sigma=1/2\) et \(\sigma=-1/2\), doivent, quant à leurs propriétés, être équivalentes aux composantes répondant respectivement aux projections du spin \(\sigma=-1/2\) et \(\sigma=+1/2\).