1. Propagation d’un ébranlement

On produit un ébranlement \(y=f(t)\) à l’origine \(A\) d’une corde. Celui-ci se propage de proche en proche et sans déformation à la vitesse \(v\). Le point \(M\) sera atteint à l’instant \(t+v\).

L’élongation au point \(M\) sera la même que celle de l’origine \(A\) à l’instant \((t-x/v)\), c’est-à-dire que : \[y_M=f(t-x/v)\]

On sait que \(y=f(t)\) peut être décomposée en une somme d’ébranlements sinusoïdaux (théorème de Fourier), ce qui permet d’écrire : \[f(t)=\frac{1}{\sqrt{2~\pi}}~\int_{-\infty}^{+\infty}A(\nu)~\exp(j~2~\pi~\nu~t)~d\nu\]

En général les amplitudes décroissent avec en fonction de la fréquence \(v\). Elles sont déterminées à partir de la transformation de Fourier : \[A(\nu)=\frac{1}{\sqrt{2~\pi}}~\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)~\exp(-j~2~\pi~\nu~t)~dt\]

2. Vitesse de phase et vitesse de groupe

2.1. Vitesse de phase

Supposons qu’à l’origine on entretienne un mouvement sinusoïdal de la forme \(f(t)=A~e^{j~\omega~t}\). On aura donc au point \(M(x)\) : \[g(t)=k~A~\exp j~(\omega~t-\varphi)\]

\(k\) :   coefficient d’amortissement (nombre réel) de la forme \(e^{-\mu~x}\)

\(\varphi\) :   déphasage du mouvement de \(M\) par rapport à l’origine

En revenant à l’écriture : \[\omega~t-\varphi\equiv\omega~(t-x/v)\]

on voit que l’expression du déphasage est : \(\varphi=\cfrac{\omega~x}{v}\)

Ainsi, en un point \(x\) donné et pour un \(\omega\) donné, c’est la vitesse \(v\) qui détermine le déphasage, d’où le nom de vitesse de phase.

Par ailleurs, étant données les relations : \[\lambda=v~T=v~\frac{2~\pi}{\omega}\]

on peut exploiter les relations suivantes : \[\omega~t-\varphi=\omega~(t-x/v)=2~\pi~(v~t-x/\lambda)\]

2.2. Vitesse de groupe

On se place à présent dans un milieu dispersif, c’est-à-dire un milieu pour lequel \(v=v(\omega)\) Pour simplifier le problème, nous supposerons que \(k=1\).

Par ailleurs : \[v(\omega)~~\rightarrow~~v(\nu)~~\rightarrow~~\lambda(\nu)\qquad\text{car :}\quad \lambda=\frac{v}{\nu}\]

Décomposons \(f(t)\) en un train d’ondes de fréquences voisines : \[f(t)=A_0~\exp(j~2~\pi~\nu_0~t)+A_1~\exp(j~2~\pi~\nu_1~t)+\dots\]

En un point \(M(x)\) quelconque, on aura : \[g(x,~t)=A_0~\exp\big[j~2~\pi~(\nu_0~t-\frac{x}{\lambda_0})\big]+A_1~\exp\big[j~2~\pi~(\nu_1~t-\frac{x}{\lambda_1})\big]+\dots\]

En effectuant une mise en facteur : \[g(x,~t)=A_0~\exp\big[j~2~\pi~(\nu_0~t-\frac{x}{\lambda_0})\big]~ \Big\{1+\frac{A_1}{A_0}~\exp j~2~\pi~\big[(\nu_1-\nu_0)~t-x~(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_0})\big]+\dots\Big\}\]

Ce qui peut s’écrire, sous forme condensée : \[g(x,~t)=B~\exp\big[j~2~\pi~(\nu_0~t-\frac{x}{\lambda_0})\big]\qquad B\equiv A_0\{\}\]

On retrouve un mouvement vibratoire de fréquence \(\nu_0\), mais dont l’amplitude \(B\) varie. \(B\) comporte en effet un terme de propagation : \[\exp j~2~\pi~\Big[(\nu_1-\nu_0)~t-x~\Big(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_0}\Big)\Big]\]

qui montre que l’amplitude se propage avec la vitesse (vitesse de groupe) : \[U=\frac{\nu_1-\nu_0}{(1/\lambda_1)-(1/\lambda_0/}=\frac{\Delta\nu}{\Delta(1/\lambda)}\]

2.3. Relation : vitesse de phase / vitesse de groupe

On peut écrire : \[U=\frac{d\nu}{d(1/\lambda)}=-\lambda^2~\frac{d\nu}{d\lambda}\]

En introduisant la relation : \[\lambda=\frac{v}{\nu}\quad\Rightarrow\quad\nu=\frac{v}{\lambda}\]

Tous calculs faits : \[U=v-\lambda~\frac{dv}{d\lambda}\]

Le terme \(dv/d\lambda\) est un terme de dispersion. Dans un milieu non dispersif (le vide par exemple), on a : \[\frac{dv}{d\lambda}=0\qquad\text{donc :}\quad U=v\]

On distingue deux cas :

\[\begin{aligned} &\frac{dv}{d\lambda}>0~~;~~U<v~~:~~\text{dispersion normale}\\ &\frac{dv}{d\lambda}<0~~;~~U>v~~:~~\text{dispersion anormale}\end{aligned}\]

Note

On se gardera de confondre les rapports :

• \(\cfrac{c}{U}\)  : Rapport des vitesses de la lumière dans le vide et dans la matière

• \(\cfrac{c}{v}\)  : Indice de réfraction \(n\) du milieu par rapport au vide

À titre d’exemple, pour le sulfure de carbone : \(\cfrac{c}{U}=1,77\) et \(\cfrac{c}{v}=1,64\).

3. Propagation dans un milieu continu

3.1. Onde plane

En tous les points d’un plan \(\pi\) (plan source), on entretient une même vibration : \[y=A~\exp(j~\omega~t)\]

Les surfaces d’onde ou surfaces équiphase sont des plans \(P\) parallèles à \(\pi\). Ils sont équidistants de \(\lambda\). En effet :

• Déphasage en \(P1\) : \(\varphi_1=\cfrac{\omega~x_1}{v}=\cfrac{2~\pi}{\lambda}~x_1 \)

• Déphasage en \(P2\) : \(\varphi_2=\cfrac{\omega~x_2}{v}=\cfrac{2~\pi}{\lambda}~x_2 \)

Ainsi, \(P1\) et \(P2\) sont équiphase si : \[\varphi_2-\varphi_1=\frac{2~\pi}{\lambda}~(x_2-x_1)=2~\pi\quad\Rightarrow\quad(x_2-x_1)=\lambda\]

Introduisons le vecteur : \[\overrightarrow{k}~\bot~(\pi)\qquad\text{tel que :}\quad|\overrightarrow{k}|=\frac{2~\pi}{\lambda}\]

Ce vecteur est appelé vecteur d’onde et on voit que : \[\varphi=\frac{2~\pi}{\lambda}~x=\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}\]

En un point \(M\) quelconque, on aura : \[y=A~\exp j~(\omega~t-\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r} )\]

La densité d’énergie en \(M\) est : \[\frac{dW}{d\tau}=A~A^*\]

\(d\tau\) : volume élémentaire entourant \(M\), à un facteur près.

\[dW=A~A^*~d\tau=A~A^*~dx~ds=A~A^*~v~dt~ds\]

Le flux d’énergie par unité de temps est : \[\delta W=A~A^*~v\]

3.2. Onde sphérique

On établit une vibration en un point \(S\) d’un milieu homogène et isotrope. Elle se propage dans toutes les directions : \[y=A(r)~\exp j~[\omega~t-\varphi(r)]\]

Les surfaces d’onde sont des sphères concentriques de centre \(S\).

On a comme précédemment : \(\varphi=\cfrac{2~\pi}{\lambda}~r\)

On peut établir également que ces surfaces d’onde sont équidistantes de \(\lambda\).

Quelle est la forme de \(A(r)\) en un point situé à une grande distance \(r\) de la source (\(r\gg\lambda\)) ? La propagation d’une onde peut être considérée comme la propagation d’une énergie émise par la source. L’énergie émise par la source pendant une période est constante. À l’instant \(t\), elle se trouve comprise entre les sphères de rayons \(r\) et \(r+\lambda\). Elle est répartie dans un volume qui va en s’accroissant au fur et à mesure de la propagation.

Reprenons l’expression de l’énergie : \[E=A~A^*~(4~\pi~r^2~\lambda)=\text{cte}\]

Posons \(a(r)=|A(r)|\) : \[a^2~4~\pi~r^2~\lambda=\text{cte}\quad\Rightarrow\quad a~r=\text{cte}\quad\Rightarrow\quad a=\frac{A_0}{r}\]

Ainsi, pour une onde s’éloignant de la source, l’équation sera : \[y=\frac{A_0}{r}~\exp~j~\Big(\omega~t-\frac{2~\pi~r}{\lambda})\]

L"amplitude varie en raison inverse de la distance à la source et l’énergie qui traverse la surface de rayon \(r\) pendant l’unité de temps est : \[\frac{A_0~A_0^*}{r^2}~4~\pi~r^2~v=4~\pi~A_0~A_0^*~v\]

C’est donc \(A_0~A_0^*~v\) à un facteur multiplicatif près.

3.3. Onde quelconque

Soit une source quelconque produisant une onde \(\Sigma\). En chaque point de \(\Sigma\), on a : \[y=A~\exp j~(\omega~t-\varphi)\qquad\mod~2~k~\pi\]

Si le rayon de courbure n’est pas trop petit, on peut décomposer \(\Sigma\) en fractions d’ondes planes et passer d’une onde à l’autre par la construction de Huyghens.

Par ailleurs : \[\Delta\varphi=\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{MM'}=\frac{2~\pi}{\lambda}~dr\]

\(\Sigma'\) : enveloppe des cercles centrés sur \(\Sigma\) et de rayon \(dr=\cfrac{\lambda}{2~\pi}~d\varphi\).

Enfin, le flux d’énergie à travers \(dS\) pendant le temps \(dt\) est \(A~A^*~v\).

4. Équation générale de propagation

Nous avons écrit que : \[y(x,~t)=f(t-x/v)\]

Par dérivations successives :

\[\begin{aligned} &\frac{\partial y}{\partial t}=f'(t-x/v)\\ &\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{1}{v}~f'(t-x/v)\\ &\frac{\partial^2y}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}~f''(t-x/v)\end{aligned}\]

On a donc : \[\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=v^2~\frac{\partial^2y}{\partial x^2}\]

D’une manière générale : \[\frac{\partial^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=v^2~\Delta\overrightarrow{E}\]

Dans un problème à une dimension, ce qui est le cas pour les ondes planes, nous trouvons une solution de la forme : \[E=f(t-x/v)+g(t+x/v)\]

Nous ne retenons que la forme \(E=f(t-x/v)\) qui correspond à une onde s’éloignant de l’origine.

La méthode de séparation des variables (méthode de Bernouilli) conduit à envisager une solution du type : \[E=E_0~e^{j~\omega~t}~e^{-j~\varphi}\quad;\quad\varphi=\frac{2~\pi}{\lambda}~x\]

On introduit très souvent le vecteur d’onde qui est un terme fixant le sens de propagation de l’onde : \[E=E_0\exp\{j~(\omega~t-\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r})\}\]