1. Cavités parallélépipédiques rectangles réfléchissantes

Cherchons les modes stationnaires d’un champ dans une cavité en forme de parallélépipède rectangle parfaitement réfléchissant, encore appelés les modes propres de la cavité.

On démontre en effet que l’équation : \[\Delta\Psi-k^2~\Psi=0\]

n’admet de solutions physiques (\(\Psi\) fini et continu) compatibles avec les conditions aux limites sur un contour fermé que pour certaines valeurs de \(k\) (dites valeurs propres) qui, dans un espace à \(p\) dimensions, dépendent de \(p\) nombres quantiques. Par exemple \(\{l,~m,~n\}\) dans trois dimensions.

On retrouve cette propriété générale dans une cavité rectangulaire de côtés (\(a~,~b~,~c\)), car la fonction \(\Psi\) étendue par réflexion à tout l’espace admet les périodes (\(2~a,~2~b,~2~c\)) en (\(x,~y,~z\)) et se décompose en série triple de Fourier, la composante \(\Psi_{lm}\) étant : \[\Psi_{lm}= \begin{pmatrix} \cos \\ \sin \end{pmatrix} \frac{l~\pi~x}{a} \begin{pmatrix} \cos \\ \sin \end{pmatrix} \frac{m~\pi~x}{b} \begin{pmatrix} \cos \\ \sin \end{pmatrix} \frac{n~\pi~x}{c}~\exp(j~\omega~t)\]

De par l’inversion de Fourier, \(\Psi_{lm}\) doit vérifier ; \[\square\Psi_{lm}=0\]

Soit, avec : \[k_x=\frac{l~\pi}{a}\quad;\quad k_x=\frac{m~\pi}{b}\quad;\quad k_x=\frac{n~\pi}{c}\]

Par ailleurs : \[k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2=\frac{\omega^2}{C'^2}=-\frac{4~\pi^2}{\lambda^2}\]

On a donc :

\[\begin{aligned} \bar{k}_{lm}&=\frac{1}{\lambda_{lm}}=\sqrt{\frac{l^2}{4~a^2}+\frac{m^2}{4~b^2}+\frac{n^2}{4~c^2}}\\ \nu_{lm}&=\frac{C'}{\lambda_{lm}}=C'~\sqrt{\frac{l^2}{4~a^2}+\frac{m^2}{4~b^2}+\frac{n^2}{4~c^2}}\end{aligned}\]

Les \(\nu_{lm}\) sont les fréquences propres de la cavité.

2. Propriétés générales des cavités électromagnétiques

Les cavités rectangulaires électromagnétiques obéissent à la règle générale. On peut trouver l’allure des modes \(\{l,~m,~n\}\)en considérant la réflexion des ondes \(E_{lm}\) ou \(H_{lm}\) dans un guide rectangulaire sur un miroir normal à \(z\), puis en disposant un deuxième miroir à \((\pi/2~\bar{k}_z)\) du premier.

D’autres cas simples sont présentés par les cavités sphériques ou cylindriques. Les ondes propres sont fonction des trois indices \(\{l,~m,~n\}\).

L’énergie emmagasinée dans une cavité vide est la somme des énergies électrique et magnétique : \[W=\iiint_{\text{cav}}\frac{\mu_0~|H|^2+\varepsilon_0~|E|^2}{2}~d\tau\]

Or, on sait que : \[\overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{\text{rot}}~(\overrightarrow{H})}{j~\omega~\varepsilon}\qquad\qquad\text{en quadrature avec }\overrightarrow{E}\]

On a :

\[\begin{aligned} |H|^2&=H_0^2~\cos^2\omega~t\\ |E|^2&=E_0^2~\sin^2\omega~t\end{aligned}\]

Si la cavité est sans perte, \(W\) est constant au cours du temps, donc : \[\int\mu_0~H_0^2~d\tau=\int\varepsilon_0~E_0^2~d\tau\]

On retrouve un critère de résonance des circuits où l’énergie magnétique se transforme totalement en énergie électrique et réciproquement à la pulsation \(2~\omega\) : \[W=\iiint_{cav}\frac{\mu_0~H_{eff}^2+\varepsilon_0~E_{eff}^2}{2}~d\tau=\frac{\mu_0~H_{eff}^2}{2}~d\tau=\iiint_{cav}\frac{\varepsilon_0~E_{eff}^2}{2}~d\tau\]

3. Pertes dans les cavités

3.1. Causes de pertes

Une cavité vide, de parois non magnétiques, ne présente en principe que des pertes par effet Joule sur les parois :

\[\begin{aligned} \left\langle P_{Joule}\right\rangle&=\iint_{cav}\frac{J_{eff}^2}{\gamma~\delta}~dS\\ \text{avec :}\quad\delta&=\sqrt{\frac{2}{\mu_0~\gamma~\omega}} &&\text{épaisseur de peau}\end{aligned}\]

La cavité présente au moins un orifice par où pénètre l’énergie. Si on cesse l’alimentation, la cavité rayonne une partie de son énergie par l’orifice ; c’est une nouvelle source de pertes.

Une cavité contenant des substances solides, liquides ou gazeuses présente des pertes d’énergie supplémentaires : diélectrique, claquage dans les régions de champs élevé ou encore absorption par résonance moléculaire.

Les molécules d’eau ou d’ammoniac par exemple ont des fréquences de résonance en ondes centimétriques.

3.2. Facteur de qualité (ou de surtension)

On définit le facteur de qualité par analogie avec le circuit résonant où : \[Q=\frac{\omega_0~L}{R}=2~\omega_0~\frac{\cfrac{1}{2}~L~i_{eff}^2}{R~i_{eff}^2}=\omega_0~\frac{W}{\left\langle P\right\rangle}\]

• \(W\) : énergie totale emmagasinée par le circuit résonant

• \(\left\langle P\right\rangle\) : puissance moyenne perdue

Pour une cavité vide : \[Q=\omega_0~\frac{\iiint\mu_0~H_{eff}^2~d\tau}{\iint\cfrac{J_{eff}^2}{\gamma~\delta}~dS}=\gamma~\delta~\mu_0~\omega_0~\frac{\iiint\mu_0~H_{eff}^2~d\tau}{\iint J_{eff}^2}~dS\]

Ou encore : \[Q=\frac{2}{\delta}~\frac{\iiint\mu_0~H_{eff}^2~d\tau}{\iint J_{eff}^2}~dS\]

Mais sur les parois : \[\overrightarrow{H_{2t}-H_{1t}}=\overrightarrow{J}\wedge\overrightarrow{n}\]

Soit : \[J_{eff}\approx H_{eff}\]

Le rapport des intégrales est voisin de \(V/S\), c’est-à-dire de l’ordre des dimensions \(D\) de la cavité : \[Q\approx\frac{D}{\delta}\qquad\qquad\text{valeur courante : }Q=10^4\]